¿Lo que ' s la intuición de la transpuesta de una matriz?

Question

Sé que la transposición es intercambiar las filas y columnas de una matriz. Y $A^T$$A$ es una matriz simétrica que elementos son el producto interior de cada columna de $A$. Pero yo no entendía la intuición de la transposición. Supongamos $A_{m \times n}$, y Una transformación de un vector de$\Bbb R^n$$\Bbb R^m$. Pero $A^T$ transformar un vector de$\Bbb R^m$$\Bbb R^n$. ¿Cuál es la relación entre ellos? Alguien podría por favor explicar la relación entre $A^T$,$A$,el interior del producto y de la matriz simétrica. Creo que no hay una intuición explicación.

Answer 1

Bueno, $A^T$ es la matriz del adjoint de $A$ respecto a los productos de interior ordinarios, es decir, $A^T$ es el % de asignación solamente linear $B$tal que $$\langle Av,w\rangle = \langle v,Bw\rangle$de %$ % todo $v\in\Bbb R^n$y $w\in\Bbb R^m$. Usted puede ver fácilmente si usted verificar en las bases estándar, teniendo en cuenta que $\langle u,e_i\rangle$ da la coordenada de th de $i$ $u$.

Answer 2

Bueno geométricas ilustration de transposición es que si tomamos como operador lineal matriz de rotación R. En este caso es fácil ver que < Rv, w> = < v, $R^T$ w> como tenemos 2 oportunidades para cambiar un ángulo entre los vectores v y w en el mismo valor. Una oportunidad es para rotar v lo Rv operación hace, el segundo para girar w en dirección inversa de lo $R^T$ ( transposición de R es la inversa de R).

Answer 3

Un aspecto este a tener en cuenta es que la transposición le permite hacer lo mismo de diferentes maneras. La matriz regular es multiplicada por una columna de la derecha para dar su respuesta como una columna. La transpuesta es multiplicada por una fila de la izquierda para dar una fila como la respuesta.

¿Es uno mejor que el otro? Realmente, no son equivalentes.