¿Cuántos dólares tiene que para ser rico?

Question

Esta es, probablemente, una muda de economía de la pregunta ya que no sé nada sobre el asunto, más allá de un par de palabras de moda (pero no tengo que saber un poco de matemáticas). Estoy tratando de averiguar la cantidad de dólares que se necesita para ser "rico" por la noción de "ricos" que creo que es más fundamental que "el 1%" o "puede permitirse el lujo de un yate", etc. Yo esperaba que fuera una simple cuestión de escribir algunas de las ecuaciones y resolución de ellos, pero estoy teniendo problemas para formalizar correctamente, así que voy a describir de manera informal, a continuación, pedir ayuda.

La noción básica es la de asumir como un axioma que la riqueza sigue una distribución de Pareto (un estándar de la observación en la economía). Esta es la distribución de $\rho(x)=cx^\alpha$ donde el factor multiplicativo $c$ es un parámetro de escala y el exponente $\alpha$ es una forma de parámetros. La cantidad total de dinero en la economía es "claro" que el área bajo la curva (parte de el problema que estoy teniendo es que la integral diverge a menos que de alguna manera truncada, que voy a volver a).

Supongamos que hay un cierto cambio en la política económica nacional (tal vez de ingresos de neutro de ajuste al código de impuestos) que no para de crear o destruir la riqueza, pero tiene el efecto de favorecer a los ricos, es decir, empuja dinero desde el extremo inferior de la gráfica en el extremo superior. Por nuestro axioma, el cambio de la política conserva el invariante que después de que el polvo se asiente, todavía hay una distribución de Pareto. Nosotros diríamos que el cambio de los resultados en la antigua distribución de la forma del parámetro $\alpha$ aumentando ligeramente, mientras que el parámetro de escala de $c$ cambia en consecuencia para mantener la integral de la misma. Por el contrario, un cambio de política que favorece a los pobres disminuye el $\alpha$ y hace a la inversa cambio a $c$. En el primer caso, alguien en el extremo superior de la distribución del ingreso se encuentra con más dinero, mientras que alguien en el extremo inferior se encuentra con menos; y en el último caso, es al revés. De cualquier manera, dados los valores de $(c,\alpha)$, hay una gran cantidad de nivel de $w$ tal de que alguien en ese mismo nivel termina con exactamente lo que había antes.

Así que mi idea es definir "ricos" como cualquier riqueza nivel por encima de que el equilibrio cantidad $w$, por lo que la gente no se benefician de un tipo de cambio, y los "no ricos" es la riqueza de nivel bajo $w$, cuyos titulares se benefician de la dirección opuesta de cambio. Eso significa que los "ricos" límite depende mucho de la $(c,\alpha)$ parámetros, y me gustaría saber que valor de límite en el actual e histórica NOS economías. Puede ser que suficiente $\alpha$, $w$ es lo suficientemente alta que aumenta aún más en beneficio de casi nadie (el cdf en $w$ es cercano a 1), y la gente de alguna manera este sentido que comienza a afectar a la política (Ocupar Wall St etc.)? Que correspondería a Pareto original de la observación de que $\alpha$ tiende a estar en un cierto rango, como 2 a 3.5 o algo por el estilo.

De todos modos voy a omitir el aburrido álgebra yo, que no trabajo. Lo que yo me pregunto es: 1) qué hacer acerca de la integral impropia y 2) si este enfoque general es estándar o interesante.

Gracias.

Answer 1

El principio de Pareto para la riqueza es que la proporción de la población de la riqueza $\geq x$ es

$$y=\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha$$

para las constantes $x_m > 0$$\alpha > 1$, y de restringir el dominio de a $x > x_m$. La inversión de esta función para encontrar la riqueza de la parte superior $y$'ésimo cuantil ($100y$'percentil), obtenemos

$$x=x_my^{-\frac{1}{\alpha}}$$.

La media de la riqueza es

$$\frac{\alpha x_m}{\alpha -1 }$$.

Así, podemos frase a tu pregunta de la siguiente manera: dado viejos parámetros $(\alpha, x_m)$, y nuevos parámetros de $(\alpha', x_m')$, encontrar el punto de equilibrio en $x_0$ tal que

$$ \left(\frac{x_m}{x_0}\right)^\alpha = \left(\frac{x_m'}{x_0}\right)^{\alpha'}$$.

Podemos resolver esto por $x_0$ y obtener

$$ x_0 = \exp \left[\frac{\alpha\log x_m - \alpha'\log x'_m}{\alpha-\alpha'}\right]$$, requiring $x_0 > x_m$ and $x_0 > x _m$.

Por lo general, si $\alpha' > \alpha$, entonces el cambio va a beneficiar a aquellos que están por encima de este punto de equilibrio, y si $\alpha' < \alpha$, entonces el cambio beneficiará a los de abajo.

Si estamos en su lugar tratando de encontrar el punto de equilibrio para la relativa riqueza, podemos resolver

$$x_my_0^{-\frac{1}{\alpha}} = x_m'y_0^{-\frac{1}{\alpha'}}$$

para $y_0$ y obtener

$$y_0 = \exp\left[{\frac{\alpha\alpha'(\log x_m' - \log x_m)}{\alpha - \alpha'}}\right]$$.

No estamos terminado de responder a su pregunta, sin embargo, porque tenemos que abordar la restricción de que el importe total de la riqueza en la economía sigue siendo constante. Suponiendo que la población se mantiene constante (no purgas Estalinistas permitido!), este es el mismo como el requisito de que la media se mantenga constante. Así,

$$\frac{\alpha x_m}{\alpha -1 } = \frac{\alpha' x_m'}{\alpha' - 1}$$.

Tomemos $x_m'$ a ser nuestra variable dependiente y resolver:

$$x_m' = x_m \cdot \frac{\alpha(\alpha'-1)}{\alpha'(\alpha-1)}$$ .

A continuación, puede realizar la sustitución en las ecuaciones para$x_0$$y_0$.