¿Hay números irracionales que tienen una diferencia de un número racional?

Question

Hay números irracionales que tienen una diferencia de un número racional?

Por ejemplo, si usted toma el $\pi - e$, parece que va a ser irracional ($0.423310\ldots$) - sin embargo, hay números irracionales donde este no será el caso?

Edición de mantener con las respuestas:

Los casos en que no será el caso:

• $yX - y(X + n)$ donde $X$ es irracional, o equivalente, han sido cubiertas

• $e^{\pi i} = -1$ ha sido cubierto

• la proporción áurea ($\phi$) ha sido cubierto

Hay otros casos?

$e^\pi - \pi$ viene de cerca, pero no del todo - hay casos como este donde el resultado es un (correcto) número racional?

Answer 1

Si $q$ es un número racional y a es un número irracional, entonces es irracional, $q+a$ $(q+a)-a=q$.

Answer 2

Este es un sorprendentemente difícil pregunta, si de descuento de las respuestas ya dadas. El conjunto de los números irracionales puede ser dividido en

• números algebraicos (ceros de polinomios con coeficientes enteros, tales como $\sqrt{7}$, $\root3\of2$ que son los ceros de $x^2-7$ $x^3-2$ respectivamente), y
• trascendental números - el resto de ellos. Famoso conocido trascendentales incluyen $e,\pi$, $\log n$ para un entero $n>1$. En general es muy difícil probar que un número dado por una fórmula es trascendental. Las probabilidades están a favor de un número trascendental menos que es "evidente" algebraica (como $\sin(\pi/4)=\sqrt2/2$ que pasa a ser algebraicas). Que es, a menos que la fórmula sólo implica racionales y la raíz de las extracciones.

¿Qué puede decirse, en general, es el siguiente

• La diferencia entre dos números algebraicos es irracional, a menos que sea del tipo descrito en otras respuestas. Los métodos necesarios para identificar, cuando este puede ser el caso de involucrar a la teoría de la extensión de campo. La teoría algebraica de números, en particular. Vea las preguntas que llevan esa etiqueta.
• La diferencia entre un algebraicas y trascendentes SIEMPRE es trascendental, por lo tanto, también irracional. Por lo que no se enfríe ejemplos como los de $\pi^{7/5}-\sqrt{131}$ posible. Tal diferencia es automáticamente irracional.
• La diferencia entre los dos trascendentales? Quién sabe? Yo no soy consciente de que no trivial ejemplos.

Answer 3

$\hspace{20mm} \sqrt{2}-\sqrt{2}=0$

Answer 4

Que $x = \sqrt{2}$ y $y = \sqrt{2} - 1$. Claramente, $x,y \in \mathbb{I}$. Ahora,

$$x - y = \sqrt{2}-\sqrt{2} + 1 = 1 \in \mathbb{Q}.$$

Answer 5

Uno de los muchos: $\sqrt{2}+(5-\sqrt{2})=5$.