Este es un problema difícil en general; si es fácil en un caso particular depende mucho de la particular de los grupos involucrados.
En primer lugar, aquí es una observación general. Supongamos $\pi$ es un finitely presentada grupo y $G$ es un grupo finito. A continuación, $\text{Hom}(\pi, G)$ es finito, y su cardinalidad, en principio, puede ser calculada por mirar todas las posibles asignaciones de elementos de $G$ a los generadores de $\pi$, y la comprobación de que tales asignaciones también la satisfacción de las relaciones en la presentación. En otras palabras, los problemas de esta forma reducir, en principio, "el cálculo de las soluciones de las ecuaciones" en $G$. El más complicado de presentaciones de $\pi$ son, más difícil es hacer esto. Pero, por ejemplo, $Q_8$ tiene una bastante pequeña presentación, por lo que no debería ser tan difícil en este caso.
Segundo, aquí están algunos relativamente fácil casos especiales y observaciones.
- Si $G$ es abelian, entonces cualquier homomorphism $\pi \to G$ factores a través de la abelianization $\pi/[\pi, \pi]$$\pi$, lo que puede ser mucho más sencillo trabajar con de $\pi$ sí; en este punto la estructura teorema de finitely generado abelian grupos se pueden poner a trabajar.
- $|\text{Hom}(\mathbb{Z}, G)| = |G|$ tiene la misma cardinalidad como $G$. Más generalmente, $|\text{Hom}(F_n, G)| = |G|^n$.
- $|\text{Hom}(\mathbb{Z}_n, G)|$ es el número de elementos de a $G$ de fin de dividir $n$.
- $|\text{Hom}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, G)|$ es el número de pares de desplazamientos de los elementos en $G$. Usted puede utilizar Burnside del lema a demostrar que esto es igual a $|G|$ multiplicado por el número de clases conjugacy en $G$.
La combinación de los dos últimos, $|\text{Hom}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, G)|$ es el número de pares de desplazamientos de los elementos en $G$ ambos de los cuales tienen el fin de dividir a $2$. Usted puede calcular este número por primera conclusión a la que todos los elementos de orden dividiendo $2$ (no te olvides de la identidad!) y, a continuación, comprobar que conmutan.
Tercero, aquí es un ejemplo favorito de la mina que muestra que este problema tiene algo de real en profundidad. Elegir un entero positivo $g$ y considerar el grupo con presentación
$$\pi = \langle a_1, b_1, ... a_g, b_g | [a_1, b_1] ... [a_g, b_g] = 1 \rangle.$$
Este es el grupo fundamental de una superficie (en este caso la compacta orientable superficie de género $g$), pero usted no necesita saber eso. Mednykh la fórmula afirma que
$$\frac{ |\text{Hom}(\pi, G)|}{|G|} = \sum_V \left( \frac{\dim V}{|G|} \right)^{2 - 2g}$$
donde la suma se ejecuta sobre todos los complejos de representaciones irreducibles $V$$G$. (En particular, cuando se $g = 1$ esto da una prueba de que el número de clases conjugacy de $V$ es igual a la cantidad de complejo irreductible representaciones).
Esto puede ser demostrado la utilización de caracteres de la teoría, pero también admite una interpretación en términos de un 2-dimensional topológica de la teoría del campo cuántico llamado Dijkgraaf-Witten teoría. La fórmula de la muestra, en particular, que a sabiendas de $|\text{Hom}(\pi, G)|$ todos los $g$ es equivalente a conocer las dimensiones del complejo de representaciones irreducibles de $G$, lo cual está lejos de ser evidente en cualquier dirección.
