Relación de equivalencia entre que la derivada sea impar y que la función sea Par

Question

En el ejercicio, tengo que demostrar que

$f'$ es impar $\iff$ $f$ es incluso

Moverme de derecha a izquierda era bastante trivial, sin embargo, no podía moverme de izquierda a derecha. Tenga en cuenta que sólo podemos utilizar cosas muy básicas como la definición de la derivada y las reglas de diferenciación (No hay teorema del valor medio o cualquier otro teorema.)

Ni siquiera veo que la izquierda implique a la derecha, pero espero verlo después de que me expliquen cómo. Gracias de antemano.

Answer 1

Considere la función $g(x)=f(x)-f(-x)$ . Si $f'(-x)=-f'(x)$ entonces $$ \begin{align} g'(x) &=f'(x)+f'(-x)\tag{1}\\ &=f'(x)-f'(x)\tag{2}\\ &=0\tag{3} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$ La regla de la cadena y la definición de $g$
$(2)$ : $f'$ es impar
$(3)$ : $a-a=0$

Así, $g(x)$ es constante. Como $g(0)=f(0)-f(0)=0$ , $g(x)=0$ para todos $x$ . Así, $$ f(x)=f(-x) $$ Por lo tanto, $f$ está en paz.

Answer 2

Utiliza la contraposición. Supongamos que $f(-x)\ne f(x)$ entonces $-f'(-x)\ne f'(x)$ .

Aquí he utilizado el hecho de que $f'=g'$ implica que $f$ y $g$ difieren sólo por una constante. Si $f(x)-g(x)=h(x)$ entonces $f'(x)-g'(x)=h'(x)$ . Esto implica $h'(x)=0$ . $h(x)$ es entonces una constante. Podrías utilizar la sugerencia de k_g de demostrar este teorema básico para proceder.

Por lo tanto, también hay que tener en cuenta el caso especial en el que $f$ y $g$ sólo difieren en una constante, dejemos que $f(-x)=f(x)+C$ , en este caso $-f'(-x)=f'(x)$ . Pero también implica $f(0)=f(0)+C$ es decir, $C=0$ .

Answer 3

Una pista: $f$ incluso $\iff$ $f(x)=f(-x)$ para todos $x$ . Entonces $$f'(x)=\frac{d}{dx}f(-x)=\cdots$$ (aplicar la regla de la cadena)