Ayudar a resolver una Integral doble

Question

Estoy haciendo una guía de ejercicios sobre integrales dobles y me encontré con un ejercicio que yo no podía resolver por un tiempo.

$$\int_0^2\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \,\mathrm dx\,\mathrm dy$$

Supongo que la más fácil orden de integración es $dxdy$, porque si trato de integrar el respeto a $y$ en primer lugar, tendría que lidiar con la integral de una raíz de $1+x^2+y^2$, mientras que en el exterior de la raíz no $y$.

Traté de Integración por sustitución (con $u = 1 + x^2 + y^2$$du = 2xdx$) para resolver el interior de la integral, pero luego sentí que no podía resolver el exterior integral.

Todas las sugerencias que me puedan dar?.

Answer 1

La primitiva se puede deducir, pero toma un poco de paciencia. Prefiero a integrar por partes en lugar de hacer un sub de trig.

$$\begin{align}\int dx \sqrt{x^2+a^2} &= x \sqrt{x^2+a^2} - \int dx \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}\\ &= x \sqrt{x^2+a^2} - \int dx \sqrt{x^2+a^2} + a^2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \end{align}$$

Ahora un sub trig es menos trabajo:

$$\implies 2 \int dx \sqrt{x^2+a^2} = x \sqrt{x^2+a^2} + a^2 \int dt \, \sec{t} $$

o

$$\int dx \sqrt{x^2+a^2} = \frac12 x \sqrt{x^2+a^2} + \frac12 a^2 \log{\left (x+\sqrt{a^2+x^2}\right )} + C$$

Answer 2

¿Qué tan difícil puede ser? Quiero decir una vez sustituye $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$, todo lo que necesitas para hacerlo encontrar los límites de $r$ y $\theta$. Ahora $1 \le r\cos\theta \le 2$ y $0 \le r\sin \theta \le 2$. Cuadratura de ambos lados es fácil ver que $1 \le r \le 2\sqrt{2}$. Del mismo modo puede averiguar que $ 0 \le \theta \le tan^{-1}(2)=\theta_{1}$. Entonces sustituyendo en la integral produce $$\int_{0}^{\theta_1} \int_{1}^{2\sqrt{2}}\frac{r\cos\theta}{\sqrt{1+r^2}} rdrd\theta$ $

Esto puede ser integrado fácilmente.