Clasificación de los tipos de conjuntos compactos

Question

Se define un conjunto de Cantor en la recta real como un conjunto que es:

1. compacto
2. perfecto
3. con vacío interior

Es cierto que si tenemos 2 conjuntos en la recta real con estas características (y no contable, debido a que el singleton también ha), entonces se homeomórficos?

Por favor, no me dan una solución, quiero hacer este problema, pero necesito algunos consejos. Claro que si tengo una continua bijection, entonces va a ser un homeomorphism.

Debido a que los conjuntos cerrados son compactos y $f$ mapa continuo de preservar esta propiedad, y por lo tanto la imagen es también cerrado, por lo que este mapa es también homeomorphism. Pero no sé cómo utilizar la propiedad de vacío interior en este problema.

Answer 1

Teorema: Supongamos $X$ es no vacío, compacto, totalmente desconectada, perfecto y espacio metrizable. A continuación, $X$ es homeomórficos para el conjunto de Cantor.

La prueba no es muy duro, pero no trivial. Esto le da una respuesta mucho más fuerte que simplemente subespacios de la línea real.

Para demostrar este teorema tenga en cuenta que puede representar el conjunto de Cantor como infinito de secuencias binarias, y que, dada una contables clopen base $\{U_n\mid n\in\mathbb N\}$ $X$ el mapa de $x\mapsto \langle \chi_{U_n}(x)\mid n\in\mathbb N\rangle$ es un interesante mapa (donde $\chi_A(x)=1$ si y sólo si $x\in A$)

En el caso específico de la línea real, puede que desee utilizar el hecho de que el vacío interior implica el conjunto está totalmente desconectado. De lo contrario, usted puede tomar algunas conectado subespacio, y mostrar que contiene un intervalo abierto.