Es el número de homomorphisms del anillo no trivial de $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_{28}$ (opciones: a.1 b.3 c.4 d.7)
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rschwieb
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Para ser un homomorfismo de grupo mera, entonces tendrá a la orden de la imagen de 1 dividir 12 y 28. Así que sale cuatro opciones de 1 mapa a.
Si tiene que ser un homomorfismo del anillo, 1 debe asignar a un elemento idempotente de $\mathbb{Z}_{28}$. Sólo dos de las cuatro posibilidades anteriores son idempotent.
Leo
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Estoy, voy a probar más generales de la realidad: el orden del grupo $Hom(\mathbb Z_m, \mathbb Z_n)$ (i.e el grupo de homomorphisms de$\mathbb Z_m$$\mathbb Z_n$)$gcd(m,n)$.
Es obvio que el orden de la imagen de cualquier homomorphism de $\mathbb Z_m$ $\mathbb Z_n$debe repartir tanto $m$$n$. Tengamos en cuenta que para cualquier $d$ que divide $n$ existe un único subgrupo $H$ $\mathbb Z_n$ que el fin es $d$ (si $n=dq$$H=\{0, d, 2d, ... , d(q-1)\}$).
Hay también un simple hecho de que el número de generadores de finito grupo cíclico $<a>_n$ orden $n$ $\phi(n)$ donde $\phi$ es de Euler totient función (por definición, $\phi(n)$ es una media aritmética de la función que cuenta el número de enteros positivos menores o iguales a $n$ que son relativamente primos a $n$). Ahora voy a probarlo.
En primer lugar vamos a demostrar que si $a^q$ es un generador, a continuación,$gcd(q,n)=1$. Suponga que $q$ $n$ no son relativamente primos. Por lo tanto,$q = kx$, e $n = ky$ para algunos enteros $x$$y$. Esto significa que $a^{qy} = a^{kxy} = a^{xn}=1$. De modo que el orden de $a^q$$y$. Pero $y<n$. Esto significa que $a$ no podía ser un generador. Por lo tanto, si $a^q$ es un generador, a continuación, $q$ $n$ son relativamente primos.
Ahora queremos demostrar que si $gcd(q,n)=1$, $a^q$ es un generador. Más pricisely, tenemos que probar que si $(a^q)^s = 1$, $s = xn$ para algunos entero $x$. Es obvio que $qs=xn$ para algunos entero $n$ (debido a $(a^q)^s = 1$, y el grupo tiene orden de $n$). Pero $gcd(q,n)=1$, por lo que es fácil ver que $n$ devides $s$.
Queda por observar que, dado un homomorphism de $\mathbb Z_m$ a un subgrupo $H$ $\mathbb Z_n$ significa que para establecer el mapa de $1$ a uno de los generadores de $\mathbb Z_n$. Por lo tanto el número de homomorpisms es $\sum_{k|gcd(m,n)} \phi(k)$ lo que equivale a $gcd(m,n).$
Así que la respuesta a su pregunta: $gcd(12,28)=4$
