He encontrado esto $\pi$ fórmula:
$$ \pi =\lim_{n\to \infty }4\sum_{k=1}^{n} \frac{2 n^3 (1-2 k)^2 \left((k-1) k+n^2\right)}{\left(k^2+n^2\right)^2\left((k-1)^2+n^2\right)^2} $$
Lo que es interesante es que la fórmula tiene un muy geométrica simple explicación. Por lo que se podría haber encontrado mucho tiempo atrás, mucho antes del descubrimiento de la serie. Este también es mi pregunta: hay muchas fórmulas para $\pi$ que es difícil decir si es uno nuevo o no. Incluso si la convergencia es lenta, es mucho mejor que el clásico ArcTan serie de $x=1$:
Por ejemplo,$\pi=3.14159...$,$n=100$, la fórmula da $3.14144$ contra $3.15149$ para el Arctg de la serie. 3 los términos correctos en contra y 1 para la ArcTan de la serie.
¿Alguien sabe?
EDIT1: de hecho, el mismo tipo de leche de fórmula puede ser usada para calcular $\text{arccos}(\cdot)$, $\text{arcsin}(\cdot)$ y $\text{arctan}(\cdot)$ fórmulas basadas en el área del ángulo. Ver mis otros post de Riemann suma fórmulas para $\text{acos}(x)$, $\text{asin}(x)$ y $\text{atan}(x)$.
EDIT2: de hecho, ambas fórmulas dadas por Luciano son casi equivalente a la que se le dio. En efecto, podemos escribir la fórmula anterior como: $$ \frac{\pi }{8}=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{n^3 (2 k-1)^2 \left((k-1) k+n^2\right)}{\left(k^2+n^2\right)^2\left((k-1)^2+n^2\right)^2} $$ Ahora, en relación a un gran $n$, podemos asumir que $k-1\approx k$ y así: $$ \frac{\pi }{8}=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{n^3 (2 k-1)^2 \left(k^2+n^2\right)}{\left(k^2+n^2\right)^2\left(k^2+n^2\right)^2}=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{n^3 (2 k-1)^2 }{\left(k^2+n^2\right)^3} $$ y, de nuevo, suponiendo que $2k-1\approx 2k$: $$ \frac{\pi }{8}=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{n^3 (2 k)^2 }{\left(k^2+n^2\right)^3}\text{ },\text{lo}\text{ }\frac{\pi }{32}= \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{n^3 k^2 }{\left(k^2+n^2\right)^3} $$ Pero con cada simplificación, la fórmula converge más lento...
