Preguntas sobre la definición de espacio tangente

Question

Tengo algunas preguntas acerca de la definición de espacio de la tangente que surgió después de leer el libro de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies de Manfredo do Carmo.

En primer lugar, ¿cuál es la mejor manera de definir el espacio de la tangente? Utilizando el vector tangente a las curvas y derivaciones?

Yo he investigado sobre el concepto de derivación, pero parece requerir de conocimientos de álgebra abstracta, es posible entender derivaciones sin saber nada de álgebra abstracta?

Puede someome recomendar algún material sobre este tema? Y si es realmente necesaria para entender derivaciones, alguien puede recomendar algún material sobre derivaciones?

Gracias de antemano.

Answer 1

Suave de los colectores en el espacio de la tangente dada por clases de equivalencia de curvas suaves y el conjunto de derivaciones en las funciones lisas es equivalente. Usted puede dar un isomorfismo entre estas construcciones. Cada uno tiene sus ventajas.

• Por ejemplo, en la clase de equivalencia de curvas de set-up, la diferencia es muy simple; $dF(\gamma) = F \circ \gamma$ la asignación de $F: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N}$ empuja a la curva en $\gamma$ $\mathcal{M}$ a la curva de $F \circ \gamma$$\mathcal{N}$. Para mostrar $d(F \circ G)=dF \circ dG$ para los colectores podemos argumentar $$ d(F \circ G)(\gamma) = F( G (\gamma)) = F( dG(\gamma)) = dF(dG(\gamma)) = (dF \circ dG)(\gamma) $$ Creo que la prueba en la derivación de vista es menos hábil.

• Derivaciones surgen de forma natural a partir de las coordenadas de los sistemas como de las derivadas parciales con respecto a la multiplicidad de coordenadas. El diferencial de nuevo empuja vectores de uno de los colectores en el espacio de la tangente a otra. O desde el colector a sí mismo, pero donde el sistema de coordenadas tiene dos superposición de gráficos. Lo creas o no, ya has hecho este cálculo en el cálculo multivariable. El cambio de coordenadas cartesianas a polares, por ejemplo: $$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} = \cos(\theta)\frac{\partial}{\partial r}-\sin(\theta)\frac{\partial}{\partial \theta}$$ Esto puede ser entendido como el vector $\frac{\partial}{\partial x}$ siendo empujado hacia adelante para el vector $\cos(\theta)\frac{\partial}{\partial r}-\sin(\theta)\frac{\partial}{\partial \theta}$ por el diferencial de la transición mapa. En otras palabras, hay construcciones para que la derivación de la formulación de espacio de la tangente encaja muy bien. Generalmente la derivación se vende como una especie de direccional de la derivada como objeto. La fórmula $X(f) = \sum_{i=1}^n X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$ es como $D(f)(\vec{X}) = (\nabla f) \cdot \vec{X}$.

En cualquier caso, es un poco inquietante para el comercio, aparentemente estática de los objetos como vectores geométricos para las clases de curvas o de los operadores diferenciales. Hay al menos otro punto de vista popular, el vector contravariante formulación de los vectores de tangentes.

• un vector contravariante se describe normalmente en la física diciendo algo como: $v^{\mu}$ es un vector contravariante porque en un cambio prohibido coordenadas nos encontramos con $\bar{v}^{\mu'} = \sum_{\nu=1}^n\Lambda^{\mu'}_{\nu} v^{ \nu}$ donde las coordenadas de transformación a través de $\bar{x}^{\mu'} =\sum_{\nu=1}^n\Lambda^{\mu'}_{\nu} x^{ \nu}$. Esta es la regla underwhich $X^i$ de la derivación de los cambios. Que el hecho de que se sigue de la regla de la cadena para los colectores. Este punto de vista tiene grandes ventajas para aquellas personas que hacer cálculos detallados en un determinado sistema de coordenadas; un.k.una. los físicos.

Cabe comentó que cuando consideramos $C^k$ colectores de esta correspondencia se rompe.Consulte la página 49 en Conlon la 2ª edición de la Diferenciable Colectores. En su Lema 2.2.20 él crea las funciones que se utilizan para enmarcar el isomorfismo entre curvas y derivaciones. La construcción de la falla por $C^k$ colectores. Por otra parte, la razón de esto es que el espacio de derivaciones en $C^k$-los gérmenes de funciones es de infinitas dimensiones.

Me encantaría decir que usted puede elegir uno para entender. Sin embargo, la naturaleza de la materia de geometría diferencial requiere que usted sea experto en todos estos puntos de vista.

Answer 2

Creo que la mejor manera depende de tus objetivos. Una de las razones derivaciones son tan importantes, es que son lo suficientemente generales como para ser utilizado en contextos distintos de los colectores (que son cruciales para hacer geometría algebraica).

Hay una buena descripción de la página.12 de Warner texto en el real colector de contexto.

Para la teoría algebraica usted puede mirar en el capítulo 16 de Eisenbud.

Answer 3

Solo estoy tratando de agregar a mi entender a la mezcla. Como en uno de los libros que he usado, el autor señala que la definición de los vectores de tangentes y ergo el espacio de la tangente es mucho más intuitivo y "agradable" cuando las curvas son empleados.

Sin embargo, como las respuestas ya dadas tan prolijamente decir, es mucho más beneficioso, en un contexto general para mirar tangente vectores como derivaciones.

Y a pesar de que ayuda a saber álgebra abstracta para entender derivaciones mejor, una derivación es, en esencia, sólo un lineal mapa que satisface los familiares de Leibniz, producto de la regla visto en habitual derivados.

La que se ha definido un Álgebra sobre un anillo o un campo puede ser descuidado si usted está estudiando desde el punto de vista de la Geometría Diferencial al menos en esta coyuntura.

Creo Loring Tu libro sobre los colectores y los tensores, tiene una buena forma de introducir derivaciones sin ahondar mucho en el álgebra abstracta. Él hace mención de los módulos , pero explica el fondo de sí mismo y eso basta en ese contexto.