Mis preguntas son provocados por Borceux, Vol 1, La Proposición 4.5.6. La parte relevante del libro es navegable en Google Libros, pero voy a seguir adelante y a reproducir, al menos, la declaración de aquí de todos modos:
Deje $\mathfrak{C}$ ser una categoría con pullbacks y universal co-productos (consulte la sección 2.14). Dada una familia de $(G_i)_{i \in I}$ de los objetos de $\mathfrak{C}$. las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) $(G_i)_{i \in I}$ es un habitual de la familia de generadores de
(2) $(G_i)_{i \in I}$ es un denso familia de generadores de
Puesto que la definición de "universal co-productos" no es navegable en búsqueda de libros de google, voy a intentar parafraseando Borceux definición: Para un categoría universal de los co-productos, siempre que $\eta: E \rightarrow \Delta Y$ are the coprojections of a coproduct, and $h: X \rightarrow Y$ any arrow, then the pullback of $\eta$ along $\Delta h$ es otro conjunto de coprojections para otro subproducto. Aquí utilizo $\Delta$ a indicar el habitual diagonal functor.
Así que mis preguntas son las siguientes:
No creo que la prueba impresa en Borceux es correcta. ¿ nadie está de acuerdo con mis críticas, que se reproducen a continuación?
He producido lo que yo creo que es una prueba válida, pero es algo de largo aliento (reproducido a continuación). ¿Alguien tiene algo mejor?
¿Alguien tiene alguna otras referencias en la literatura que este resultado (o una muy similar) es también afirmó y demostró, por comparación del amor?
Hay una alternativa, menos sobrecargado, el término para el concepto de "universal co-productos" como se define en Borceux 2.14 y también (en un al parecer forma más débil) en Jacobs, 1.5.3. Yo recuerdo vagamente de ver el mismo concepto documentado en otros lugares bajo un nombre diferente, pero me he olvidado de dónde.
Aquí están mis críticas relativas a Borceux de la prueba:
Menor error de imprenta; creo $g \circ m$ lugar debe decir $g_m$, donde lo que parece.
En una etapa posterior en la prueba, Borceaux dice que "... $(H_{f \circ u},(w_f)_f)$ and $(H_{f \circ v},(z_f)_f)$ se co-productos ...", pero ninguno de estos son de la forma correcta (es decir, no son cocones) digamos (coprojections de una) subproducto, por lo que no estoy de acuerdo con este paso en conjunto.
Vamos a tomar un caso simple donde $\mathfrak{C}$ se Establecey $\mathcal{G}$ es la familia que consta de un solo objeto - una de dos elemento del conjunto. Deje $C$ también ser un elemento del conjunto. A continuación, $\coprod_f G_i$ es un niño de ocho elemento del conjunto. Al restringir el kernel par de $\gamma_C$, usted puede recoger un mínimo de $X$ (con sólo 6 elementos) y $u,v : X \rightarrow \coprod_f G_i$ such that $\gamma_C$ es co-ecualizador en tal manera que $H_{f \circ u \circ v}$ siempre está vacío. Por lo tanto la central de resultado, que $g \circ u \circ x_f \circ z_f \circ l = g \circ v \circ x_f \circ z_f \circ$ l es vacuously cierto en este caso, y no va camino a mostrar que la $g \circ u = g \circ v$.
Yo también disputa la idea de que podemos deducir que $g \circ u = g \circ v$ by considering the cone property of $g_f$ en lo que respecta de sólo en paralelo pares de flechas en $\mathcal{G}/C$, y la prueba sólo se mira en estos escenarios. En el ejemplo que se produjo en la anterior crítica, el único no-trivial paralelo pares de flechas no son suficientes para solucionar $g_f$ de esta manera.
Aquí está mi intento de corregir la prueba. Se tomó un poco de headscratching a venir para arriba con. Finalmente me enteré de que usted tiene que el uso universal de co-productos muy aggresively para mantener a cortar la los objetos involucrados en pedazos manejables hasta que se puede utilizar conoce diagrama persigue desentrañar un resultado. Debido a que la prueba es un poco más complicado, yo voy a tomar la libertad de usar diferentes (y esperemos que más familiar) conjunto de símbolos y signos de notación estilo de que en Borceux. Los artefactos de la prueba están representados en el siguiente diagrama en el $\mathbb{C}$:
$$ \begin{array}{cccccccc} \mathcal{G}(G) & \xrightarrow{g} & \Gamma_r(s) & \xrightarrow{\hat{\rho}_s} & \Gamma_s(s) & \xrightarrow{\hat{\sigma}{s}} & \mathcal{G}(S) \\ & & \downarrow {\scriptstyle \rho_s} & & \downarrow {\scriptstyle \sigma_s} & & \downarrow {\scriptstyle \eta_s} & \searrow {\scriptstyle s} \\ & & \Gamma_s(t) & \xrightarrow{\tau_t} & P & \overset{s'}{\underset{t'}{\rightrightarrows}} & Q & \overset{\hat{\lambda}}{\longrightarrow} & C \\ & & & \underset{=}{\searrow} & \uparrow {\scriptstyle \tau_t} & & \uparrow {\scriptstyle \eta_t} & \nearrow {\scriptstyle t} \\ & & & & \Gamma_t(t) & \xrightarrow{\hat{\tau}_t} & \mathcal{G}(T) \end{array} $$
Vamos a regular la generación de la familia se representa como un completo y fieles functor $\mathcal{G} : \mathcal{G} \rightarrow \mathbb{C}$ (confundimos el functor con su dominio de la economía)
Tomar arbitraria $C \in \text{Ob}(\mathbb{C})$ y dejar que $\mathcal{G} \downarrow C$ be the usual comma category, with $\Gamma : (\mathcal{G} \downarrow C) \rightarrow \mathbb{C}$ el canoncal de proyección y $\Gamma_0 : (\mathcal{G}_0 \downarrow C) \rightarrow \mathbb{C}$ ser la restricción correspondiente a meros objetos. Los objetos de $\mathcal{G} \downarrow C$ will be confused with their underlying arrows $f : \mathcal{G}(G) \rightarrow C$ decir, sin peligro de verdadera confusión.
Tome $Q$ el subproducto de $\Gamma_0$ y $\eta : \Gamma_0 \rightarrow \Delta P$ the coprojection. Let $\lambda : \Gamma \rightarrow \Delta C$ ser el canoncal cocone con componentes $\lambda_f = f$ para todos los objetos de $f$$\mathcal{G} \downarrow C$. Deje $\hat{\lambda} : Q \rightarrow C$ ser la transpuesta a lo largo de $\eta$ (la restricción de) $\lambda$.
De acuerdo a la hipótesis relativas a $\mathcal{G}$ ser regular la generación de la familia, $\hat{\lambda}$ es el co-ecualizador de un par de flechas $s', t' : P \rightarrow Q$ decir.
Nuestro objetivo es mostrar que $\lambda$ es el cocone de un colimit. A que final deje $\mu : \Gamma \rightarrow \Delta D$ ser cualquier otro cocone, y deje $\hat{\mu} : Q \rightarrow D$ ser la transpuesta a lo largo de $\eta$. Mientras podemos demostrar que esto significa que $\hat{\mu} \cdot s' = \hat{\mu} \cdot t'$, entonces con un simple apelación a la coequaliser y subproducto ya se ha mencionado muestra que hay un únicas $h : C \rightarrow D$ tal que $\Delta h \cdot \lambda = \mu$ y, a continuación, el resultado se sigue inmediatamente. El resto de la la prueba se centra, por tanto, sólo en mostrar que $\hat{\mu} \cdot s' = \hat{\mu} \cdot t'$.
Pullback $\eta$ a lo largo de $\Delta s'$ obtener $\Gamma_s$ y flechas $\sigma$ $\hat{\sigma}$ (como se ve en el diagrama anterior). Del mismo modo pullback $\eta$ a lo largo de $\Delta t'$ obtener $\Gamma_t$ y flechas $\tau$ $\hat{\tau}$.
Elegir cualquiera de los objetos de $s : \mathcal{G}(S) \rightarrow C$ e $t : \mathcal{G}(T) \rightarrow C$ of $\mathcal{G} \downarrow C$. A continuación, vamos a $\rho$ ser el pullback de $\sigma$ a lo largo de $\Delta \tau_t : \Delta \Gamma_s(t) \rightarrow \Delta P$ to obtain object $\Gamma_r$ y flechas $\rho$$\hat{\rho}$.
Por el "universal subproducto" hipótesis de la, $\Gamma_r$, $\Gamma_t$, y $\Gamma_s$ co-productos con coprojections $\rho$, $\tau$, y $\sigma$ respectivamente.
Tome componentes adecuados para obtener el diagrama de arriba. Todo diagrama de desplazamientos. Deje $f$ ser el todo compuesto de $\mathcal{G}(G)$ a la izquierda a $C$ a la derecha. Esto le da tres los objetos $f$, $s$, y $t$ y dos flechas $\hat{\sigma}_s \cdot \hat{\rho}_s \cdot g$ and $\hat{\tau}_t \cdot \rho_s \cdot g$ en el categoría $\mathcal{G} \downarrow C$. Utilizando el hecho de que $\mu$es un cocone, así aprendemos que el anterior diagrama de desplazamientos plenamente con $\mu_s$ en lugar de $s$, $\mu_t$ en lugar de $t$ $\hat{\mu}$ en lugar de $\hat{\lambda}$.
Esto a su vez nos dice que $\hat{\mu} \cdot s' \cdot \tau_t \cdot \rho_s \cdot g = \hat{\mu} \cdot t' \cdot \tau_t \cdot \rho_s \cdot g$. Considering that $g$, $s$, and $t$ todos fueron arbitrarias, $\mathcal{G}$ es un grupo electrógeno, y $\tau$ $\rho$ coprojections, nos enteramos de que $\hat{\mu} \cdot s' = \hat{\mu} \cdot t'$, y la prueba está completa.
