Reducción de esquema y cerrada puntos

Question

En La Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris, el Ejercicio I-32 le pide a uno para demostrar que un esquema de $X$ se reduce si y sólo si cada anillo local $\mathcal{O}_{X,p}$ es reducido para los puntos cercanos a $p \in X$. Sin embargo, esto no parece funcionar en general, desde el $X$ puede no tener suficiente cerrado puntos. Qué hipótesis adicionales en $X$ necesito para tal afirmación se celebrar?

Answer 1

No creo cuasi-compacidad es suficiente,para Noether esquema es cierto. en un esquema de noether, cada punto P tiene un punto de cierre en su cierre, por lo que ..... pero no me parece que una condición necesaria y suficiente para

Answer 2

A mí me parece que mirando cerrada puntos sólo no es suficiente, ya que no siempre son un denso conjunto de X ...

Answer 3

Existen esquemas sin un punto cerrado, sí. (Liu, ejercicios 3.3.26/27)

Pero en muy razonables condiciones adicionales - creo cuasi-compactación serán suficientes, si usted es feliz con usando el lema de Zorn - el resultado se mantiene. Usar/probar la existencia de un punto de cierre, y el hecho de que la localización de un reducido anillo todavía le da una menor anillo.