Esto es más bien casual y recreativas...
Me parece, que el límite tal como se indica en el asunto línea %#% $ #%
Posiblemente se trata de alguna manera trivial. ¿Y acercamiento 2 en el límite?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Thm: Hemos $$ \sum_{n < x} \varphi(n) \sim \frac{3}{\pi^2} x^2 $$ Prueba: Desde $$ n = \sum_{d | n} \varphi(d) $$ por Moebius inversión que conseguir $$ \varphi(n) = n \sum_{d | n} \frac{\mu(d)}{d} $$ Por lo tanto $$ \sum_{n < x} \varphi(n) = \sum_{n < x} n \sum_{d | n} \frac{\mu(d)}{d} $$ Intercambiando suma obtenemos $$ \sum_{d < x} \frac{\mu(d)}{d} \sum_{d | n, n < x} n $$ El interior de la suma es igual a $$ d \cdot \frac{x^2}{2 d^2} + O(x) = \frac{x^2}{2d} + O(x) $$ Por lo tanto, la respuesta final es $$ \sum_{d < x} \frac{\mu(d)}{2 d^2} \cdot x^2 + O(x\log x) = \frac{1}{2\zeta(2)} x^2 + O(x\log x) $$ debido a que la tarde de suma converge a $1 / \zeta(2) = 6/\pi^2$. $\square$
EDIT: En particular, el límite es de hecho igual a $2$!
EDIT 2: en Realidad, para la mayoría de los enteros $\varphi(n) \asymp n$.
De hecho, la proporción de números enteros $n < x$ tal que $\alpha n < \varphi(n) < \beta n$, $\alpha < 1$ converge a una función de distribución continua $$\mathbb{P}(\alpha < X < \beta) > 0$$ where explicitely $$ X := \prod_{p} \bigg ( 1 - \frac{X(p)}{p} \bigg )$$ and the $X(p)$ are independent random variables with $$\mathbb{P}(X(p) = 1) = \frac{1}{p} \text{ and } \mathbb{P}(X(p) = 0) = 1 - \frac{1}{p}.$$ Este es Schoenberg del teorema.
Eric Naslund
Puntos
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Tenemos el resultado asintótico $$\sum_{n\leq x}\phi(n)=\frac{3}{\pi^{2}}x^{2}+O\left(x\log x\right),$$ so your limit is $2$.
Para completar el panorama, con la prueba de la anterior, así como pruebas de las $\Omega$ tipo de resultados para el término de error, eche un vistazo a esta entrada del Blog.
Una solución a esta pregunta puede encontrarse también en otros dos respuestas de la mina en Matemáticas de Intercambio de la Pila: Probabilidad de que dos números aleatorios son coprime y fórmula Asintótica para $\sum_{n\leq x}\mu(n)[x/n]^2$ y el Totient summatory función de $\sum_{n\leq x} \phi(n)$
