Círculos que pasan por tres puntos dados

Question

¿Cuántas circunferencias de este tipo existen que pasen por tres puntos dados en 2 dimensiones?

¿Se trata de un único círculo o de más de uno?

¿Hay alguna prueba?

Answer 1

SUGERENCIA:

Sea la ecuación del círculo $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$

Si el círculo pasa por $A(a,d),B(b,e),C(p,q)$

$a^2+d^2+2g\cdot a+2f\cdot d+c=0$

$b^2+e^2+2g\cdot b+2f\cdot e+c=0$

$p^2+q^2+2g\cdot p+2f\cdot q+c=0$

Así, tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas $g,f,c$

¿Qué podemos concluir de esto?

Answer 2

Si los tres puntos no son colineales, se puede demostrar que existe una circunferencia única demostrando que su centro se encuentra en dos bisectrices perpendiculares de los segmentos que unen los puntos del árbol [La existencia se hace demostrando que la circunferencia con centro en la intersección de dos bisectrices perpendiculares y radio la distancia a uno de los puntos funciona; la unicidad se hace demostrando que cualquier circunferencia que pase por los tres puntos tiene ese centro y radio].

Si los tres puntos son co lineales, no hay círculo (a no ser que consideres una recta como un círculo de radio infinito). Esto se puede demostrar mostrando que si los tres puntos están en una línea en el orden $A,B,C$ (es decir $B$ entre $A$ y $C$ ), entonces para cualquier punto del plano tenemos

$$OB < OA \mbox{ or } OB <OC \,.$$ Para demostrarlo, basta con observar que $ \angle OBA+ \angle OBC =180^o$ por lo que al menos uno de ellos es $\geq 90^o$ . Si es $\angle OBA \geq 90^o$ , entonces en $\Delta OBA$ el borde $AB$ es el más grande ya que se opone al ángulo mayor.

Añadido Si los tres puntos no son necesariamente distintos (que por cómo está planteado el problema no creo que sea el caso), entonces es fácil demostrar que hay infinitos círculos.

Caso 1: Los tres puntos son iguales, entonces es fácil construir infinitas circunferencias.

Caso 2: Dos puntos son iguales, pero el tercero es distinto. Ignora uno de los dos puntos iguales. Entonces cualquier circunferencia con centro en la Bisectriz Perpendicular del segmento que une los dos puntos, y el radio correcto servirá.

Answer 3

El círculo único pasa por tres puntos no colineales dados. Para encontrar el radio del círculo: Dibujar un triángulo uniendo tres puntos. Dibujar la bisectriz de dos lados cualesquiera de un triángulo. El punto de intersección de la bisectriz del lado es el punto central del círculo que pasa por los tres puntos dados

Answer 4

Cuando los 3 puntos son distintos, los otros ya han respondido respecto a un círculo único que los atraviesa.

Cuando dos puntos coinciden, la circunferencia es tangente a una recta según un punto de dirección fija de $ \theta $ se acerca a eje x.

Sean los puntos con coordenadas $ O, P,Q $ como $ (-a,0),(0,0), \epsilon ( \cos \theta, \sin \theta ) $ respectivamente.

Cuando $ \epsilon \rightarrow 0, $ $PQ$ es la tangente del círculo en $P$ para que

$$ \sin \theta = a/d $$ donde $d$ es el diámetro del círculo.

Si $ O,P,Q $ son colineales y $ \theta = 0$ o $\pi$ entonces su círculo se convierte en una línea recta.