Acción de grupo en un colector con órbitas finitas

Question

Estoy buscando un resultado a lo largo de las líneas de los siguientes:

Deje $G$ ser un grupo que actúa sobre un conjunto $X$. Si la acción particiones $X$ en un número finito de $G$de las órbitas, a continuación,$\dim G \geq \dim X$.

Para que esto sentido, parece $G$ $X$ debe tener un espacio vectorial/colector de estructura, pero puede muy bien ser los supuestos adicionales para la conclusión de espera (por ejemplo, $G$ es también una expresión algebraica de grupo, y la acción es el polinomio, etc.).

Alguien puede proporcionar una declaración más completa y la prueba de este resultado?

Este resultado se utiliza en las Tetas' argumento de Gabriel del teorema (véase, por ejemplo, en la página 29 de Bernstein, Gel'fand, y Ponomarev del artículo "Coxeter functors y Gabriel teorema"), pero yo también estaría interesado en ver cómo este resultado puede ser utilizado en contextos más grandes.

Answer 1

Aquí hay una prueba en la categoría suave. Sea$\alpha : G \times X \to X$ una acción de un grupo de Lie$G$ en un colector suave$X$. Para$x \in X$, la imagen del mapa$\alpha(-, x) : G \to X$ es la órbita que contiene$x$. Si$\dim G \lt \dim X$, entonces por el lema de Sard la imagen de$\alpha(-, x)$ tiene una medida cero para cualquier$x$, y por consiguiente$X$ no puede ser la unión de órbitas finitas o incluso contables.