Norma del operador integral en$L_2$

Question

¿Cuál es la norma de los operadores integrales$A$ in$L_2(0,1)$?

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Answer 1

Es suficiente para utilizar Schwarz desigualdad de la siguiente manera:

$$ \| A x \|^2 = \int_0^1 \left| \int_0^t x(s) \, ds \right|^2 dt = \int_0^1 \left| \int_0^t \sqrt{\cos \frac{\pi}{2}} \cdot \frac{x(s)}{\sqrt{\cos \frac{\pi}{2}}} \,ds \right|^2 dt \le \int_0^1 \left( \int_0^t \cos \frac{\pi}{2}\, ds \int_0^t \frac{|x(s)|^2}{\cos \frac{\pi}{2}}\right) dt = \frac{2}{\pi} \int_0^1 \int_0^t \sin \frac{\pi}{2}t \, \frac{|x(s)|^2}{\cos \frac{\pi}{2}} \, ds\,dt = \frac{2}{\pi}\int_0^1 \left( \int_s^1 \sin \frac{\pi}{2} t \, dt \right) \frac{|x(s)|^2}{\cos \frac{\pi}{2}s} \,ds = \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 \| x \|^2 $$
La igualdad tiene por $x(s) = \cos \frac{\pi}{2}s$.

Answer 2

Es el Problema 188 del libro de P. Halmos, "Un libro de problemas espaciales de Hilbert". En la solución, el autor escribe que "un enfoque directo parece no conducir a ninguna parte." La norma es realmente$2/\pi$, y se calcula a través del adjoint$A^*$ y un kernel adecuado. Es una prueba bastante larga, así que intenta leerla en el libro de Halmos.

Answer 3

La norma del operador de Volterra es$2/\pi$. Trataré de recordar la prueba; El límite sugiere que el óptimo ocurre para algún polinomio trigonométrico, digamos$\cos(\pi x/2)$.