Por que $\arctan(x)= \frac{1}{2i}\log \left( \frac{x-i}{x+i}\right)+k$?

Question

Deja que$x=\tan(u)$,$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{1+\tan(u)^2}\sec^2(u)du=u+k=\arctan(x)+k$ $ También,$$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{(x-i)(x+i)}dx=\frac{1}{2i}\int\frac{1}{(x-i)}-\frac{1}{(x+i)}dx$ $$$=\frac{1}{2i}\left(\ln(x-i)-\ln(x+i)\right)+c$ $$$=\frac{1}{2i}\ln \left(\frac{x-i}{x+i} \right)+c$ $

¿Por qué es correcto? ¿Cuál es la naturaleza de$$\arctan(x)=\frac{1}{2i}\ln \left(\frac{x-i}{x+i} \right)+q$ (es "flexible" por lo que la igualdad no significa mucho)?

Creo que probablemente tiene algo que ver con la relación entre$q$ y$\log(z)$, pero$\arg(z)$ es difícil de calcular ordenadamente.

Answer 1

La identidad básica utilizada aquí fue descubierta en el siglo XVIII por Euler: $$ e ^ {iz} = \ cos z i \ sin z $$ donde por supuesto el coseno y el seno son de$x$ en radianes .

Se sigue que$\cos z = \dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y$\sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$.

Por lo tanto $$ a = \ tan z = \ frac {e} {iz} -e ^ {- iz}} {i (e ^ {iz} -e ^ {- iz} {2iz} -1} {e ^ {2iz} 1} = -i \ frac {b-1} {b 1}. $$ $$ \begin{align} a & = -i\frac{b-1}{b+1} \\[10pt] (b+1)a & = -i(b-1) \\[10pt] b(i+a) & = i-a \\[10pt] b & = \frac{i-a}{i+a} \\[10pt] e^{2iz} & = \frac{i-a}{i+a} \\[10pt] 2iz & = \log \frac{i-a}{i+a} \end {align} $$ El logaritmo, al igual que el arctangente, es "valor múltiple".

Answer 2

Tenemos que$$i\sin z=\sinh iz$ #%

Esto significa que$ $ $

Pero

Answer 3

Esto es correcto, y dejando $x$ tienden a $+\infty$ usted puede encontrar el término constante: $$\arctan(x) = \frac{1}{2i} \log(\frac{x-i}{x+i}) + \frac{\pi}{2},$$ since $\log(\frac{x i}{x+i})$ tends to $\log(1) = 0$ and $\arctan(x)$ tends to $\pi / 2$.

Esto es válido para $x > 0$. Por desgracia, hay una dificultad con el $\log$ función en $-1$, y para$x < 0$, se obtiene la fórmula $$\arctan(x) = \frac{1}{2i} \log(\frac{x-i}{x+i}) - \frac{\pi}{2}$$ por un argumento similar.

Que logaritmos y funciones trigonométricas inversas están relacionados no debería ser sorprendente, sin embargo. Recuerde Euler fórmula: $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ a que se refiere el exponencial para las funciones trigonométricas.