¿Por qué es Anillo conmutativo?

Question

¿Qué es la motivación axiomatically obligando al grupo de apoyo de un anillo que abeliano? Anillos no conmutativo son mucho más complejos que conmutativa, así que supongo que lo que permite la operación aditiva que computacional solo haría empeorar. ¿Hay algo más profundo aquí, o es una restricción por el bien de conveniencia y simplicidad?

Answer 1

Sí, hay una razón más profunda, al menos en mi opinión. Más abstracto axiomático construcciones en matemáticas son la inspiración o incluso equivalente a ejemplos concretos. Una de las más básicas algebraicas objetos que uno puede pensar es el conjunto $S^S$ de las asignaciones de $S$ dentro de sí misma, que tiene un natural asociativa de la multiplicación (composición) y una unidad (el mapa de identidad). Tomando estas propiedades como resumen axiomas, se obtiene la definición de un unital monoid. Sin embargo, un elemento $m\in M$ de una manera abstracta definida unital monoid $M$ puede ser visto como el mapa de $[l_m:M\rightarrow M]\in M^M$$l_m(x)=mx$. La asignación de $m\in M$ $l_m\in M^M$induce un inyectiva homomorphism de monoids por lo que la definición abstracta es en realidad el lenguaje (aunque bastante útil) desde $M$ es isomorfo a un submonoid de una asignación monoid. También se pueden considerar como submonoids de $S^S$, que contienen sólo bijective mapas. De nuevo, tomando esta propiedad adicional (es decir, la existencia de inversos) como otro axioma, se obtiene la definición de grupo, pero cada grupo puede ser visto como un subgrupo de un grupo de bijective mapas en un conjunto, por lo que la definición abstracta es realmente sólo el idioma, ya que no proporciona usted con nada de lo que realmente se generaliza el rector ejemplo.

Ahora para unital anillos de la historia es esencialmente el mismo, pero mientras que para unital monoids el modelo básico es $S^S$ y su submonoids, el modelo básico para los anillos es $\operatorname{End}(G)$ y su subrings, donde $G$ es un grupo abelian. $\operatorname{End}(G)$ es el submonoid de la asignación de monoid $G^G$ que contiene los mapas que son un grupo homomorphisms. La restricción de abelian grupos es necesario ya que el pointwise producto $(\varphi,\psi)\mapsto [x\mapsto \varphi(x)\psi(x)]$ (que es la adición en el ring $\operatorname{End}(G)$) de endomorphisms es otro endomorfismo sólo si $G$ es asumido abelian, en general. Como con unital monoids y grupos, un resumen unital anillo de $R$ incrusta homomorphically y injectively en su propio endomorfismo anillo de $\operatorname{End}(R)$ por los operadores de multiplicación, y este es un homomorphism de unital anillos (no sólo de unital monoids).

Por lo tanto, la generalización de la definición de un anillo de una manera que sugiere la pregunta es equivalente a generalizar el ejemplo $\operatorname{End}(G)$ a nonabelian $G$. En cuanto a cómo se podría hacer, hay dos posibilidades (en realidad más de... ver más abajo en la edición). En primer lugar, uno podría intentar definir una estructura de grupo en $\operatorname{End}(G)$ otros de la pointwise producto. Esto parece algo artificial desde el punto entero de uso $\operatorname{End}(G)$ es aprovechar la presencia de los productos del grupo en el primer lugar. Aún así, uno podría especular que para ciertos nonabelian grupos, hay estructuras en $\operatorname{End}(G)$, que es derivada de alguna manera el grupo de producto e interactuar bien con la composición de una estructura de este tipo sería muy extraño ya que, al menos, la propiedad distributiva se perderán, como se explica en las otras respuestas. La otra vía de la generalización es seguir utilizando los pointwise producto, que como usted puede haber notado hace que toda asignación de monoid $G^G$ dentro de un grupo. Por lo tanto, es posible considerar a los subconjuntos de a$G^G$, que es cerrado bajo ambas operaciones: pointwise del producto y de la composición. Este es el que guía el ejemplo de una "cerca del anillo", como se describe en la Wikipedia. En general, un submonoid $M\subset G^G$ tal que $M\subset \operatorname{End}(G)\subset G^G$ puede ser uno de estos sólo al $G$ es abelian, y estos ejemplos son los que tradicionalmente se definen los anillos.

EDITAR 12/23/2013 el día de hoy me di cuenta de que hay una manera fácil de crear un ejemplo de un "anillo con nonabelian grupo subyacentes": simplemente tome su favorito nonabelian grupo $G$ escrito con $+$ (que es horrible, lo sé), y de imponer una segunda ley de composición $\ast$$(x,y)\mapsto x\ast y=e_G$. Se puede comprobar con facilidad que $\ast$ es asociativa y distribuye más de $+$ $(G,+,\ast)$ satisface todos los axiomas de anillo, con la excepción de la conmutatividad de la $(G,+)$.

Ahora no hay ningún conflicto con las otras respuestas aquí porque el extraño anillo que acabo de describir no tiene multiplicativo de identidad. Por lo tanto, he intentado insertar la palabra "unital" = "la posesión de un dos caras de la identidad" en varios lugares adecuados en el texto anterior con el fin de enfatizar la suposición de que existe una identidad. Ahora si no se asume la existencia de una identidad que las cosas se pueden complicar bastante rapidez. Por ejemplo, un conjunto arbitrario $M$ puede ser hecho en un no-unital monoid por la elección de un punto de $x\in M$ y la imposición de la ley de composición $(m,n)\mapsto x$ para cada par $(m,n)\in M\times M$. Esto es claramente una ley asociativa de la composición, pero no hay identidad y, quizás más importante, la canónica homomorphism $m\in M\mapsto l_m\in M^M$ como se definió anteriormente solo tiene un punto en su imagen (el mapa de puntos de a $x$).

El punto es que si $M$ no contiene una identidad, a continuación, $m\mapsto l_m$ no es necesariamente inyectiva, entonces, uno no necesariamente ver una copia exacta de $M$ dentro de $M^M$ - sólo un cociente. Esto significa que la definición abstracta de un (no necesariamente unital) monoid puede producir ejemplos que no son canónicamente equivalente a la guía de ejemplo de $S^S$ y su submonoids, por lo que en este caso la definición es no sólo "lenguaje", como escribí más arriba.

No es una condición suficiente para la inyectividad de $m\mapsto l_m$ que es más general que la existencia de un elemento de identidad: si el derecho anti-representación $x\mapsto r_x\in M^M$ $M$ se define como de costumbre ( $r_x(m)=mx$ ), a continuación, $m\mapsto l_m$ será inyectiva, siempre que exista al menos un $x\in M$ tal que $r_x\in M^M$ es un inyectiva mapa, para, a continuación, $l_m=l_n$ implica $$r_x(m)=l_m(x)=l_n(x)=r_x(n)$$ y, por tanto, $m=n$ por la inyectividad de $r_x$. Tengo la sensación de que esta es una manifestación de algún fenómeno más general que involucra monomorphisms en la categoría de conjuntos, pero no sé lo suficiente acerca de la categoría de la teoría a discutir esto en detalle (tal vez @Martin Brandeburgo gustaría dejar un comentario). En particular, si $M$ contiene un dos caras de la identidad $1$ $r_1\in M^M$ es inyectiva lo $m\mapsto l_m$ inyectiva.

En el plano de los anillos, esto significa que en una forma abstracta anillo definido, no necesariamente con la identidad, la presencia de al menos uno de los $x\in R$ tal que $r_x\in \operatorname{End}(R)$ es inyectiva las fuerzas de la representación canónica $m\mapsto l_m$ a ser inyectiva y por lo tanto, para reproducir fielmente $R$ dentro de $\operatorname{End}(R)$.

Ahora, mucho se ha dicho en este hilo acerca de cómo la propiedad distributiva en un anillo de fuerzas subyacentes grupo abelian y el cálculo presentado por Bill Dubuque y drhab utiliza la existencia de un anillo de identidad para mostrar esto. De hecho, esto puede ser probado suponiendo sólo que la representación canónica es inyectiva:

La proposición. Si $(R,+,\ast)$ satisface todos los axiomas de anillo, excepto la conmutatividad del grupo $(R,+)$, entonces la representación canónica $x\mapsto [z\mapsto l_x(z)=x\ast z]$ es un homomorphism de ambos productos en $R^R$ que toma valores en $\operatorname{End}(R)$ y si esta homomorphism es inyectiva, a continuación, $(R,+)$ es abelian.

Observación. Desde la proposición requiere de dos caras, la distributividad de $\ast$$+$, las hipótesis son algo más fuerte que simplemente indica que $(R,+,\ast)$ es cerca de un anillo.

Prueba.

1."$x\mapsto l_x$ toma valores en $\operatorname{End}(G)$" utiliza la distributividad de la izquierda: $$l_x(y+ z)=x\ast (y+ z)=(x\ast y) + (x\ast z)=l_x(y)+ l_x(z).$$

2."$x\mapsto l_x$ es un homomorphism $\ast\rightarrow \circ$" utiliza la asociatividad de $\ast$: $$l_{x\ast y}(z)=(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)=l_x\circ l_y(z).$$

3."$x\mapsto l_x$ es un homomorphism $+\rightarrow +$" utiliza la distributividad de la derecha: $$l_{x+ y}(z)=(x+ y)\ast z=(x\ast z)+ (y\ast z)=l_x(z)+ l_y(z)=(l_x+l_y)(z).$$

4.(R,+) es abelian si $x\mapsto l_x$ es inyectiva: $$l_{x+y}(z+z)=l_x(z+z)+l_y(z+z)=l_x(z)+l_x(z)+l_y(z)+l_y(z) =l_x(z)+l_{x+y}(z)+l_y(z)$$ pero también $$l_{x+y}(z+z)=l_{x+y}(z)+l_{x+y}(z)=l_x(z)+l_y(z)+l_x(z)+l_y(z)=l_x(z)+l_{y+x}(z)+l_y(z).$$ La cancelación de los términos exteriores (que es válido desde $(R,+)$ se supone que para ser un grupo), tenemos $l_{x+y}(z)=l_{y+x}(z)$. Esto es aplicable para todos los $z$, llegamos a la conclusión de que $x+y=y+x$ que $x\mapsto l_x$ es inyectiva. La proposición se prueba.

Lo que si dejamos caer el supuesto de que la representación canónica es inyectiva? A continuación, nos puede producir ejemplos de los "anillos con nonabelian subyacente grupos" como lo hice al principio de la edición, para reiterar: acaba de tomar su favorito nonabelian grupo $G$ escrito con $+$ (que es atroz, lo sé), y de imponer una segunda ley de composición $\ast$$(x,y)\mapsto x\ast y=e_G$. Se puede comprobar con facilidad que $\ast$ es asociativa y distribuye más de $+$ $(G,+,\ast)$ satisface todos los axiomas de anillo, con la excepción de la conmutatividad de la $(G,+)$. La proposición muestra que la representación canónica no puede ser inyectiva y, por supuesto, que toma valores en un único punto: el trivial endomorfismo $[x\mapsto e_G]\in \operatorname{End}(G)$.

Para resumir las cosas, yo diría que

1. Sí, el anillo de axiomas puede ser relajado para producir "anillos con nonabelian subyacente grupos", sin embargo, algunos de niza propiedad tendrá que ser sacrificado:

   • la multiplicación no va a distribuir a partir de la izquierda, que le puede dar un casi-anillo, pero entonces la imagen de la representación canónica no voy a mentir en $\operatorname{End}(R)$, en general; o

   • la representación canónica no ser inyectiva en el que caso de que no se adhieren a una identidad sin perturbar gravemente la determinada estructura algebraica (supongo que tendrá que pasar para algunos abelian cociente del grupo subyacente).

2. En cualquier caso (y especialmente en el segundo caso), estos objetos no se relaciona bien con $\mathbb{Z}$, y en mi opinión es por eso que la mayoría son curiosidades más que el objeto de intenso estudio.

Answer 2

Con el fin de generalizar los anillos de estructuras con no conmutativa addiiton, uno no puede simplemente eliminar el axioma de que la suma es conmutativa, ya que, de hecho, otros (estándar) anillo de los axiomas de la fuerza, además de ser conmutativa (Hankel, 1867 [1]). La prueba es simple: se aplican tanto a la izquierda y a la derecha distributiva de la ley en orden diferente al término de $\rm\:(1\!+\!1)(x\!+\!y),\:$ viz.

$$\rm (1\!+\!1)(x\!+\!y) = \bigg\lbrace $$\begin{eqnarray} (1\!+\!1)x\!+\!(1\!+\!1)y\, =\, x \,+\, \color{#C00}{x\!+\!y} \,+\, y\\ \rm 1(x\!+\!y)\!+1(x\!+\!y)\, =\, x\, +\, \color{#0A0}{y\!+\!x}\, +\, y\end{eqnarray}$$ \bigg\rbrace\:\Rightarrow\: \color{#C00}{x\!+\!y}\,=\,\color{#0A0}{y\!+\!x}\ \ por\ \ cancelar\ \ x,$y$

Por lo tanto conmutatividad de la suma, $\rm\:x+y = y+x,\:$ es implicada por estos axiomas:

$(1)\ \ *\,$ distribuye más de $\rm\,+\!:\ \ x(y+z)\, =\, xy+xz,\ \ (y+z)x\, =\, yx+zx$

$(2)\ \, +\,$ es cancellative: $\rm\ \ x+y\, =\, x+z\:\Rightarrow\: y=z,\ \ y+x\, =\, z+x\:\Rightarrow\: y=z$

$(3)\ \, +\,$ es asociativa: $\rm\ \ (x+y)+z\, =\, x+(y+z)$

$(4)\ \ *\,$ tiene un elemento neutro $\rm\,1\!:\ \ 1x = x$

Dijo que más estructuralmente, recordemos que un SemiRinges que la generalización de un Anillo cuya estructura aditiva es relajado a partir de una conmutativa Grupo a sólo una SemiGroup, es decir, aquí el único hipótesis en la adición es asociativa (por lo que en SemiRings, a diferencia de los Anillos, además de la necesidad de no ser conmutativa, ni es necesario que cada elemento $\rm\,x\,$ tiene un inverso aditivo $\rm\,-x).\,$ Ahora el resultado anterior puede ser enumeradas como sigue: un semiring con $\,1\,$ y cancellative además ha conmutativa de la adición. Tal semirings son simplemente subsemirings de los anillos (como es$\rm\:\Bbb N \subset \Bbb Z)\,$, debido a que cualquier conmutativa cancellative semigroup incrusta canónicamente en un conmutativa grupo, su grupo de diferencias (exactamente de la misma manera $\rm\,\Bbb Z\,$ está construido a partir de $\rm\,\Bbb N,\,$ es decir, el aditivo versión de la fracción de campo de la construcción).

Ejemplos de SemiRings incluyen: $\rm\,\Bbb N;\,$ segmentos inicial de los cardenales; de distribución de redes (por ejemplo, los subconjuntos de un powerset con las operaciones de $\cup$$\cap$; $\rm\,\Bbb R\,$ + , siendo min o max, y $*$ de adición; semigroup semirings (por ejemplo, de poder formal de la serie); los lenguajes formales de la unión, concat; etc. Para un buen estudio de SemiRings y SemiFields ver [2]. Véase también Cerca de los Anillos.

[1] Gerhard Betsch. En los inicios y el desarrollo de cerca el anillo de la teoría. páginas 1-11 en:
Cerca de los anillos y cerca de los campos. Actas de la conferencia celebrada en Fredericton, New Brunswick, julio de 18 a 24, 1993. Editado por Yuen Fong, Howard E. Bell, Wen-Fong Ke, Gordon Mason y Gunter Pilz. La matemática y sus Aplicaciones, 336. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. x+278 pp. ISBN: 0-7923-3635-6 Zbl revisión

[2] Hebisch, Udo; Weinert, Hans Joachim. Semirings y semifields. $\ $ p 425-462 en: Manual de álgebra. Vol. 1. Editado por M. Hazewinkel. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1996. xx+915 pp. ISBN: 0-444-82212-7 Zbl de revisión, AMS revisión

Answer 3

$\left(1+1\right)\left(a+b\right)=1\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)=a+b+a+b$

$\left(1+1\right)\left(a+b\right)=\left(1+1\right)a+\left(1+1\right)b=a+a+b+b$

Así que la distributividad (en ambos lados) exige que se $a+b=b+a$

Answer 4

Los anillos más conocidos por el hombre tienen su operación de la adición conmutativa.

La definición de anillo intenta capturar eso.

Answer 5

Hay otra respuesta de una categoría de la teoría de la perspectiva. Recordar la noción de un monoid objeto en una categoría monoidal. Es natural para el estudio de ellos, aparecen en muchas situaciones, y muchos de los "teoremas" acerca de monoids, anillos, topológica de los anillos o el álgebra en general, etc. en realidad son casos especiales de resumen tonterías con monoid objetos (nice) monoidal categorías.

• Monoids = monoid objetos en $(\mathsf{Set},\times)$
• Monoids con cero = monoid objetos ($\mathsf{Set}_*,\wedge)$
• $H$-espacios = monoid objetos en $(\mathsf{hTop}_*,\wedge)$
• Semirings = monoid objetos en $(\mathsf{CMon},\otimes)$
• Anillos = monoid objetos en $(\mathsf{Ab},\otimes)$
• Anillos con no conmutativa de la adición = monoid objetos en ... ???

Bueno, es tentador para tomar $(\mathsf{Grp},\otimes)$ aquí, pero lo que debe $\otimes$ estar aquí? Aunque existen diversas variantes del tensor de productos de los grupos, ninguno de ellos hace $\mathsf{Grp}$ una categoría monoidal.

Por lo tanto, anillos con un no conmutativa de la adición de caer fuera de la imagen general. Esto no implica, necesariamente, que son poco interesantes, sino que su teoría es más exótico.

Como ya se ha mencionado en las otras respuestas, un casi-anillo es un "anillo" con un no conmutativa de la adición y sólo la cara distributiva de la ley de $(x+y)z=xz+yz$. Estos pueden ser interpretados como los grupos de $G$ equipada con un mapa asociativo $G \otimes G \to G$ donde $G \otimes G$ se define como el grupo libre generado por los símbolos $x \otimes y$ sujeto a la (aditiva escrito) de las relaciones de $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$. Esto parece ser el subproducto (también conocido como producto libre) de $|G|$ copias de $G$ donde $x \otimes z$ pertenece a la copia indexados por $z$. Una definición similar debe trabajar para arbitrario algebraicas categorías.