Aplicaciones de los anillos de valoración

Question

Algunos antecedentes: Estoy en proceso de escribir un trabajo de investigación para pregrado resumen del curso de algebra. He decidido escribir mi papel en la valoración de los anillos y discreta valoración de los anillos. El objetivo de este trabajo es ampliar mi propio y de mis compañeros de clase en la comprensión de álgebra abstracta de forma independiente por la investigación de un tema que no fue abordado en el curso. Hasta ahora, mi trabajo se compone de la topografía de las propiedades de la valoración de los anillos y dando ejemplos de valoración de los anillos.

Lo que me gustaría saber: Me gustaría ser capaz de comentar sobre cómo la valoración de los anillos, son utilizados en varios campos de las matemáticas. Hasta ahora he tenido un tiempo difícil encontrar ejemplos que son explícito y accesible para mí, como todos los de la literatura que me he encontrado en la valoración de los anillos se han graduado de textos. Parece que la valoración de los anillos se utilizan a menudo en la teoría de números y la geometría algebraica, pero ¿cómo se aplica en los campos? Qué otros campos encontrar valoración de los anillos de significativa utilidad, y cómo se aplican? Me gustaría encontrar también llamado mundo real de las aplicaciones útiles para mi comprensión del tema, pero personalmente estoy más interesado en cómo los matemáticos hacen uso de ellos.

Asumir sé lineal y álgebra abstracta en un nivel de licenciatura. No asuma sé mucho acerca de la geometría, teoría de números, o de análisis. Actualmente estoy tomando un curso de geometría diferencial, pero lo que yo estoy aprendiendo parece completamente separado de todo lo que he visto relacionados con la valoración de los anillos a la geometría.

Mis disculpas por la pregunta general. Por favor, hágamelo saber si me pueden aclarar o especificar de alguna manera.

Answer 1

Si usted está familiarizado con el análisis complejo, la colección de meromorphic funciones en un subconjunto $U \subseteq \mathbb{C}$ puede ser dotado con muchas discretos valoraciones, uno para cada punto de $U$. Dada una función de meromorphic $f$, para cada una de las $a \in U$ podemos escribir $f(z) = (z - a)^v g(z)$ algunos $v \in \mathbb{Z}$ donde $g$ es una función de holomorphic en$a$$g(a) \neq 0$. Definimos el orden (de la desaparición) de $f$$a$, denotado $\operatorname{ord}_a(f)$, que se esta $v$. Uno puede mostrar que $\operatorname{ord}_a$ es un discreto valoración.

Del mismo modo, en la geometría algebraica Dvr puede ser utilizado para medir el orden de la desaparición de una función en un punto. Dada una curva $C$ y un punto de $P \in C$, entonces el anillo local en el punto de $P$ es un DVR iff $C$ es nonsingular en $P$. Básicamente, una función de $f$ regular en $P$ tiene orden de la desaparición de $v$ si $f \in \mathfrak{m}^v$ $v$ es el más pequeño de tales enteros positivos, donde $\mathfrak{m}$ es el máximo ideal correspondiente a $P$.

Esto también nos permite detectar las singularidades de una curva algebraica. Por ejemplo, considere la cuspidal cúbico $C: y^2 = x^3$. El origen es un punto singular de $C$, como es claro a partir de la observación de una parcela de la curva, o mediante el cálculo de derivadas parciales, y esto se refleja por el hecho de que el anillo local $\left(\frac{k[x,y]}{(y^2 - x^3)}\right)_{(x,y)}$ no es un DVR.

Answer 2

Algo muy natural, conjunto de ejemplos provienen de la teoría de los números(que al parecer es donde el nombre de divisor viene!), es decir, el número de campos (es decir, finito extensiones del campo de los números racionales $\mathbf{Q}$). El caso más simple es $\mathbf{Q}$ mismo, considerado como una extensión. Soluciona un número primo $p$, y dado cualquier número racional $\alpha = \frac{a}{b}$ escritura $\alpha$ $p^n\frac{a'}{b'}$ donde los enteros $a'$ $b'$ son relativamente primos y no son divisibles por la prima fija número $p$. Es fácil ver (pero necesita pruebas) que ese $n \in \mathbf{Z}$ está determinada únicamente(esto es simplemente porque $\mathbf{Z}$ es una única factorización de dominio). Entonces, uno tiene una función en $\mathbf{Q}$ definiendo $\nu_p(\frac{a}{b}):=n$, como se observó anteriormente. Es entonces un ejercicio para demostrar que $\nu_p$ es una valoración en $\mathbf{Q}$. Resulta que (Teorema de Ostrowski) aparte de la habitual valor absoluto, estas son todas las valoraciones en $\mathbf{Q}$.

Una línea paralela de la construcción puede llevarse a cabo mediante la sustitución de $\mathbf{Q}$ con el campo de funciones racionales sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$, es decir,$k(X)$. En este caso, para cualquier elemento $\alpha \in k$, existe un único entero $n$ por lo que: $$f(X) = \frac{p(X)}{q(X)} = (X-\alpha)^n\frac{p'(X)}{q'(X)};$$ donde $p'$ $q'$ son relativamente primos polinomios en $k[X]$. Como era el caso antes, $k[X]$ es un UFD, por lo tanto $n$ está determinada únicamente. Una vez más, definimos $\nu_\alpha(f(X)) := n$. Se debe verificar que esto define una valoración en $k(X)$. Un análogo de Ostrowski del teorema sigue siendo válido aquí con el único resto de la función en $k(X)$ definición de una valoración siendo el $\mathrm{deg}$ función: que se define como la diferencia de los grados de $p$$q$.

Se debe subrayar que la construcción de $\mathbf{Q}$ puede ser realizada por cualquier número de campo, y la construcción de $k(X)$ puede ser realizada por cualquier curva algebraica.

Hay, por supuesto, la geometría tropical mundo donde las valoraciones de jugar un papel central. esta herramienta se utiliza con frecuencia para resolver, al menos, ciertos enumerativa de problemas en geometría algebraica.