Un complejo CW infinito dimensiones siempre tiene infinidad de grupos de homología no trivial?

Question

Deje $X$ denotar un infinito dimensional CW complejo, me pregunto si $H_n(X)\ne 0$ para infinidad de $n$'s.

Creo que puede necesitar el uso de celulares homología. La única cosa que tengo es que desde $X$ es de infinitas dimensiones, hay infinitamente muchos $n$'s tal que $H_n(X^{n}, X^{n-1}) \ne 0$.

Edit: Esto resulta ser una pregunta estúpida. Pero parece que todos los contraejemplos a continuación(grandes respuestas!) son contráctiles hasta ahora. Lo que si voy a requerir la CW complejo no contráctiles?(Estoy trabajando en $K(G,1)$ realidad...)

Answer 1

Un contraejemplo es$S^\infty$, la unión de$S^n$ para todos$n\geq 0$. Este es un complejo con dos celdas en cada dimensión, por lo que es infinito dimensional, pero es contractible.

Answer 2

Un contraejemplo muy simple es una suma de cuña infinita como$\bigvee_{n=0}^\infty\Delta^n$. Esto es infinito-dimensional, pero es contractible puesto que cada$\Delta^n$ es contractible.