Sólo por curiosidad, vamos a demostrar que no solo hay ningún positivo entero soluciones a $x^3+y^3=10^3$, pero no hay soluciones si los enteros negativos permitidos así, es decir, no hay soluciones con $xy\not=0$.
Deje $s=x+y$$p=xy$. Entonces
$$10^3=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=s(s^2-3p)$$
por lo $s\mid10^3$. Tenga en cuenta que debemos tener $s\gt0$ (debido a $x$ $y$ no pueden ambos ser negativo, y $x^2-xy+y^2$ es necesariamente positivo si $xy\lt0$), por lo que hay sólo $16$ posibilidades: $s=2^m\cdot5^n$$0\le m,n\le3$. Pero tenemos $s^3\equiv1$ mod $3$, por lo que los cortes de las cosas por la mitad: necesitamos $m+n$ a ser incluso. Las posibilidades son $s=1,4,10,250,25,100,40$, e $1000$. Pero podemos cortar las cosas aún más. La solución para $p$ da
$$p={s^3-10^3\over3s}$$
Con el fin de tener $x+y=s$$xy=p$, tenemos $x$ a ser un número entero solución a la ecuación cuadrática $x^2-sx+p=0$, el cual requiere de, al menos, que
$$s^2-4p={4\cdot10^3-s^3\over3s}\ge0$$
Esto limita $s$ a menos de $10\sqrt[3]4$, que es claramente inferior a $25$, por lo que sólo $s=1,4$, e $10$ quedan. Podemos descartar $s=10$ inmediato, ya que dan a $p=0$, lo que contradice la suposición $xy\not=0$. Para los otros dos casos, el discriminante de la ecuación cuadrática es
$$s^2-4p={4\cdot10^3-s^3\over3s}=
\begin{cases}1333\quad\text{for }s=1\\
328\quad\text{for }s=4
\end{casos}$$
ninguno de los cuales es un cuadrado. (Nota, si sólo estábamos interesados en descartar soluciones positivas $x$$y$, $p=xy\gt0$ y la fórmula $p={s^3-10^3\over3s}$ dijo $s\gt10$ inmediato.)
Bien puede ser una forma más rápida para hacer todo esto; si es así me interesaría ver.
