Un subespacio de $\omega_1$ es metrizable si es no estacionaria

Question

Quiero demostrar la siguiente afirmación:

Un subespacio $X$ de $\omega_1$ es metrizable si y sólo si $X$ es no estacionaria en $\omega_1$ .

Realmente no he conseguido mucho:

Si $X$ es estacionario, entonces $X$ es incontable y es fácil ver que $X$ no es compacto (ni siquiera Lindelöf). Así que bastaría con demostrar que $X$ es secuencialmente compacto. Sin embargo, esto no tiene por qué ser así, como se ve en el conjunto $X=\omega_1\setminus\{\omega\}$ y la secuencia $x_n=n$ .

Para la otra dirección, el único teorema de metrización que conozco no es aplicable ya que si $X$ es no estacionaria no tiene por qué ser contable en segundo lugar.

Sin embargo, está claro que si $X$ está acotado, ya que entonces es un subespacio de un ordinal contable, que es metrizable.

Answer 1

Un subconjunto de $\omega_1$ se supone que está topologizado como un subespacio de $\omega_1$ con la topología del orden.

Lema 1. Si $X$ es un subespacio estacionario meta-Lindelöf de $\omega_1,$ entonces $X$ es no estacionaria.

Prueba. Desde $X$ es meta-Lindelöf, la colección de todos los subconjuntos abiertos acotados de $\omega_1$ puede ser refinada a una cubierta abierta contable por puntos $\mathcal G$ de $X.$ Para cada $\xi\in X$ elija $G_\xi\in\mathcal G$ con $\xi\in G_\xi.$ Si $X$ se quedaran estacionarias, entonces $X'=\{\xi\in\omega_1:\xi\text{ is a limit point of }X\}$ sería un conjunto cerrado no limitado, y $X\cap X'$ sería estacionaria; así que bastará con demostrar que $X\cap X'$ es no estacionaria, definiendo una función regresiva divergente $f$ en $X\cap X'.$

Para cada $\xi\in X\cap X'$ elija $f(\xi)\in G_\xi\cap X,\ f(\xi)\lt\xi.$ Afirmo que $f$ es divergente. Considere cualquier $\alpha\lt\omega_1;$ tenemos que demostrar que el conjunto $Z=\{\xi\in X\cap X':f(\xi)\lt\alpha\}$ está acotado. Ahora $Z\subseteq\bigcup\{G\in\mathcal G:G\cap X\cap\alpha\ne\emptyset\}.$ Desde $\mathcal G$ es contable en puntos, tenemos $|\{G\in\mathcal G:G\cap X\cap\alpha\ne\emptyset\}|\le|X\cap\alpha|\cdot\aleph_0\le\aleph_0.$ Así que $Z$ está cubierto por un número contable de conjuntos acotados y, por tanto, está acotado.

Lema 2. Si $C$ es un subconjunto cerrado e ilimitado de $\omega_1,$ entonces $\omega_1\setminus C$ es metrizable.

Prueba. $\omega_1\setminus C$ es la unión de conjuntos abiertos contables disjuntos. Dado que $\omega_1$ es contable en primer lugar y $\text{T}_3,$ todo subespacio contable de $\omega_1$ es contable en segundo lugar y $\text{T}_3,$ por lo tanto metrizable. Así, $\omega_1\setminus C$ es una suma topológica de espacios metrizables, y por tanto es ella misma metrizable.

Teorema. Para $X\subseteq\omega_1$ las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) $X$ es metrizable;
(2) $X$ es paracompacto;
(3) $X$ es meta-Lindelöf;
(4) $X$ es no estacionaria.

Prueba. (1) $\implies$ (2) es el teorema de A. H. Stone; (2) $\implies$ (3) es trivial; (3) $\implies$ (4) por el lema 1; y
(4) $\implies$ (1) por el lema 2.