Un triángulo derecho isósceles $ABC$, $AB=BC= 4 cm$
% De punto $p$es un punto medio de $BC$, % puntos $q$, $s$ se encuentra en $AC$, $AB$ respectivamente, tal que el triángulo $pqs$ es un triángulo equilátero;
Cuál es el área del triángulo $pqs$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Girar $\Delta Bps$derecha $60^\circ$ $p$ como se muestra, en forma de $\Delta B'pq$.
$\Delta B'Cp$, Encontrar que $B'C=2\sqrt3~\mathrm{cm}$.
Ley de seno en $\Delta B'Cq$, encontrar que $\dfrac{B'q}{\sin 15^\circ}=\dfrac{B'C}{\sin 105^\circ}$, que $B'q=(4\sqrt3-6)~\mathrm{cm}$.
Utiliza Teorema de Pitágoras para encontrar que $\Delta B'pq$ $pq=2\sqrt{22-12\sqrt3}~\mathrm{cm}$.
Por lo tanto el área es $\dfrac12a^2\sin60^\circ=(22\sqrt3-36)~\mathrm{cm}^2$.
Hoc Ngo
Puntos
429
Con base en la descripción, vamos a definir:
$$ \begin{align} \mbox{Hypotenuse AC}:\; y &= -x +4 \\ p &= (2,0) \\ q &= (x, y=-x+4) \\ s & = (0,h) \end{align}$$
Los tres lados son iguales, por lo tanto:
$$ \begin{align} \mbox{sp = pq} \Rightarrow 4+h^2 &= (x-2)^2 + (x-4)^2 \quad (1)\\ \mbox{sp = sq} \Rightarrow 4+h^2 &= x^2 + (h+x-4)^2, \quad(2) \\ \mbox{pq = sq} \Rightarrow (x-2)^2 + (x-4)^2 &= x^2 + (h+x-4)^2. \quad(3)\\ \end{align}$$
Hay 3 ecuaciones con 2 variables$x$$h$, pero sólo dos ecuaciones necesarias para resolver para las variables. Digamos que solucionar $(2)$$(3)$$x$$h$. A continuación, le damos la solución en $(1)$ e si $(1)$ no está satisfecho, entonces el problema no tiene solución.
De $(3)$:
$$ x = \frac{4 + 8h -h^2}{4 + 2h}. \quad(4) $$
Conectar $(4)$ a $(2)$ resultará en una ecuación en la $h$ solo. Esta ecuación puede resolverse numéricamente. Una vez $h$ es obtenido, $x$ va a ser encontrado por $(4)$.
El siguiente paso es conectar los resultados de $x$ $h$ a $(1)$. Si la igualdad de falla, el problema no tiene solución.
Si el problema tiene una solución, entonces el área del triángulo $spq$ está dado por
$$ A = \frac{\sqrt3}{4}(sp)^2 = \frac{\sqrt3}{4}(4+h^2). $$
