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Tangente de la elipse a los dos círculos

Tenemos dos círculos con radios $p$$q$, uno centrado en el origen, y uno centrado en el punto de $(w,0)$.

Quiero construir una elipse de la forma $$ \frac{(x-c)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ que es tangente a los dos círculos, como se muestra aquí:

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Si $b$ es conocida, podemos obtener la forma cerrada de expresiones para $a$ $c$ funciones de $p$, $q$, $w$ y $b$.

2voto

s01ipsist Puntos 1104

Para la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

La ecuación de la normal en $(x_1,y_1)$:

$$a^2y_1(x-x_1)=b^2x_1(y-y_1)$$

Poner $y=0$,

$$x=\frac{a^2-b^2}{a^2}x_1=e^2x_1 \tag{$y_1 \ne 0$}$$

cual es el $x$-intercepción.

Radio de $p$:

\begin{align*} p^2 &= (x_1-e^2x_1)^2+y_1^2 \\ &= \frac{b^4x_1^2}{a^4}+y_1^2 \\ &= \frac{b^4x_1^2}{a^4}+b^2\left( 1-\frac{x_1^2}{a^2} \right) \\ &= b^2-\frac{b^2e^2x_1^2}{a^2} \tag{1} \end{align*}

Del mismo modo,

$$q^2=b^2-\frac{b^2e^2x_2^2}{a^2} \tag{2} $$

$(1)-(2)$,

$$p^2-q^2=\frac{b^2e^2}{a^2}(x_2^2-x_1^2) \tag{3}$$

También se $$w=e^2(x_2-x_1) \tag{4}$$

En la resolución,la

$$x_1=\frac{a^2(p^2-q^2)}{2b^2w}-\frac{a^2w}{2(a^2-b^2)}$$

$$x_2=\frac{a^2(p^2-q^2)}{2b^2w}+\frac{a^2w}{2(a^2-b^2)}$$

y de $(1)$,

$$a=\frac{b\sqrt{(p^2 + q^2)^2+w^2 \left( \sqrt{b^2-p^2}+\sqrt{b^2-q^2} \right)^2}}{p^2 + q^2}$$

Tenga en cuenta que $$c=-e^2x_1$$

La elipse es necesario

$$\frac{1}{a^2} \left[ x-\frac{w}{2}+\frac{(a^2-b^2)(p^2 + q^2)}{2b^2} \right)^2+\frac{y^2}{b^2}=1$$

siempre $p,q \le b$

Una buena combinación de $p$, $q$, $w$ y $b$:

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Una mala combinación de $p$, $q$, $w$ y $b$:

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Una combinación especial de $p$, $q$, $w$ y $b$:

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2voto

bubba Puntos 16773

Me di cuenta de lo mismo, finalmente. El código es:

    p2 = p^2
    q2 = q^2
    b2 = b^2

    h = b2 - p2
    k = b2 - q2

    c = w * (h - sqrt(h*k)) / (h-k)

    a2 = (h + c^2) * b2 / h

    a = sqrt(a2)

En la notación tradicional, definimos en primer lugar: $$ h = b ^ 2 - p ^ 2 k $$ $$ = b ^ 2 - q ^ 2 $$ Nota que $h$ y $k$ son ambos positivos en configuraciones "razonables". Entonces $$ c = \frac{w (h - \sqrt{hk})} {h-k} $$ $$ un = \sqrt{\frac {(h + c ^ 2) b ^ 2} {h}} $$
Voy a escribir hasta la derivación más adelante. Quería este ante la gente pasó más tiempo en él.

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