Para la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
La ecuación de la normal en $(x_1,y_1)$:
$$a^2y_1(x-x_1)=b^2x_1(y-y_1)$$
Poner $y=0$,
$$x=\frac{a^2-b^2}{a^2}x_1=e^2x_1 \tag{$y_1 \ne 0$}$$
cual es el $x$-intercepción.
Radio de $p$:
\begin{align*}
p^2 &= (x_1-e^2x_1)^2+y_1^2 \\
&= \frac{b^4x_1^2}{a^4}+y_1^2 \\
&= \frac{b^4x_1^2}{a^4}+b^2\left( 1-\frac{x_1^2}{a^2} \right) \\
&= b^2-\frac{b^2e^2x_1^2}{a^2} \tag{1}
\end{align*}
Del mismo modo,
$$q^2=b^2-\frac{b^2e^2x_2^2}{a^2} \tag{2} $$
$(1)-(2)$,
$$p^2-q^2=\frac{b^2e^2}{a^2}(x_2^2-x_1^2) \tag{3}$$
También se $$w=e^2(x_2-x_1) \tag{4}$$
En la resolución,la
$$x_1=\frac{a^2(p^2-q^2)}{2b^2w}-\frac{a^2w}{2(a^2-b^2)}$$
$$x_2=\frac{a^2(p^2-q^2)}{2b^2w}+\frac{a^2w}{2(a^2-b^2)}$$
y de $(1)$,
$$a=\frac{b\sqrt{(p^2 + q^2)^2+w^2
\left( \sqrt{b^2-p^2}+\sqrt{b^2-q^2} \right)^2}}{p^2 + q^2}$$
Tenga en cuenta que $$c=-e^2x_1$$
La elipse es necesario
$$\frac{1}{a^2}
\left[
x-\frac{w}{2}+\frac{(a^2-b^2)(p^2 + q^2)}{2b^2}
\right)^2+\frac{y^2}{b^2}=1$$
siempre $p,q \le b$
Una buena combinación de $p$, $q$, $w$ y $b$:
Una mala combinación de $p$, $q$, $w$ y $b$:
Una combinación especial de $p$, $q$, $w$ y $b$: