¿Cerca simple cerrados geodesics ambiente isotópico?

Question

Deje $(M,g)$ ser un cerrado de Riemann colector. Quiero mostrar que

existe una lo suficientemente pequeño $\delta > 0$ que si $\gamma_1: S^1 \to M$ $\gamma_2: S^1 \to M$ son simple y cerrada geodesics con $d(\gamma_1, \gamma_2) = \sup\ \{d(\gamma_1(\theta), \gamma_2(\theta)) : \theta \in S^1\} < \delta$, son de ambiente isotópica.

No son fáciles de contraejemplos si se le cae la simple condición. He intentado una prueba de la siguiente manera: Desde $M$ está cerrada, hay algunos $\epsilon$ de manera tal que cada punto en $M$ tiene un totalmente normal barrio de radio $\epsilon$. Mientras $\delta < \epsilon$, no hay una única menor geodésica conectar $\gamma_1(\theta)$ $\gamma_2(\theta)$por cada $\theta$. Geodésica de flujo a lo largo de estos segmentos conectados tarda $\gamma_1$$\gamma_2$. Pero un priorato, dos de los segmentos que une posible que se cruzan de forma que el flujo no es una isotopía. Sospecho que hay algo acerca de ser geodesics impide que este, ya que en un barrio cercano geodesics debería ser algo como líneas paralelas orientadas en la misma dirección, pero no he logrado con un argumento.

Puede que esta prueba sea terminado, posiblemente con mucho menor $\delta$? Es esta declaración, incluso, cierto?

Answer 1

Revisión de una geodésica bucle $\gamma$ Definir un tubular vecindario $U$ s.t. $$ U =\{ x| d(x,\gamma )<\delta \} $$ where $\delta < \frac{{\rm Inj}\ M}{3} $ and ${\rm Inj}\ M$ es una radio de inyectividad de $M$. Por lo tanto, cualquier geodésica de longitud $< 3\delta$ es minimizar.

Suponga que otro geodésica bucle $\gamma_2$ $U$

Y definir $f$ a ser una función en $U$ $$f(x)=d(x,\gamma ) $$

Desde $\gamma$ es una geodésica así vector gradiente de campo $X:=\nabla f$ está bien definido. Si $F$ es un flujo local de $X$, $F$ es un isotopía el envío de $\gamma_2$ a $\gamma$ :

Suponga que $$\gamma_2(s_1)=F(\varepsilon,\gamma_2(s_2)),\ s_1<s_2 $$

Aquí ${\rm length}\ \gamma_2|[s_1,s_2]\leq 2\delta$, de modo que es minimizar. En más $c(t):=F(t,\gamma_2 (s_2))$ es geodésica así que $\gamma_2$ va $U$. Por lo que es una contradicción.