Números racionales notables/inesperados

Question

Consideremos el Riemann $\zeta$ función. Sabemos que $\zeta(2n)$ es un múltiplo racional de $\pi^{2n}$ (en particular es trascendental). También sabemos que $\zeta(3)$ es irracional, y esperamos que $\zeta(n)$ ser irracional (si no incluso trascendental) para cada $n\in\mathbb{N}$ , o al menos me sorprendería si - decir - $\zeta(5)$ resultó ser racional.

¿Existen casos conocidos de aparición de números racionales en los que podríamos no ¿Los esperaba?

Por supuesto, la noción de "expectativa" aquí es muy subjetiva, por lo que esta es una pregunta suave sólo por curiosidad, ya que tengo la sensación de que por lo general (en mi limitada experiencia siempre) complicado producen expresiones irracionales ( $\mathbb{C}-\mathbb{Q}$ ) números.

Como sin ejemplo tenemos la serie $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}=1$ . Una serie es complicado suficiente (en comparación con, por ejemplo, una expresión aritmética finita), pero, por supuesto, aquí tenemos la fórmula explícita para series geométricas, por lo que la resultante $1$ no es realmente una gran sorpresa.

Answer 1

Constante de Legrendre es el mejor ejemplo que conozco. Legendre estaba interesado en la expresión

$$\lim_{n\to\infty}\left(\ln(x)-\frac{n}{\pi(n)}\right)$$ debido a su relación con la (entonces no probada) Teorema de los números primos . En particular, si el límite existe, entonces el teorema de los números primos es cierto. Legrendre estimó que el valor era $\sim 1.08$ pero el valor exacto resultó ser $1$ ¡! Aunque no conozco ninguna conjetura específica de que sea irracional, el hecho de que resulte ser exactamente $1$ fue muy sorprendente para mí y no veo ninguna razón para esperar que sea racional.

Me imagino que hay muchos ejemplos de esto en la teoría de la probabilidad desde antes del Ley Cero-Uno de Komogorov se estableció.

Answer 2

La distancia media entre dos puntos elegidos al azar en el Triángulo de Sierpinski (de lado $1$ ) es

$$\frac{466}{885}$$

(donde "distancia" significa la longitud del camino más corto entre los puntos que se encuentra dentro el triángulo de Sierpinski).

Answer 3

(1). Si $f:[0,1]\to \mathbb R$ es continua con $f(0)=f(1)$ y $n\in \mathbb N$ entonces $\exists x\in [0,1-1/n]\;(f(x)=f(x+1/n)\;).$ (El teorema de la cuerda horizontal.) Pero si $y\in (0,1)$ y $y$ no es el recíproco de un número natural entonces existe un continuo $f:[0,1]\to \mathbb R$ con $f(0)=f(1)$ tal que $\forall x\in [0,1-y]\;(f(x)\ne f(x+y)\;).$

(2). En cualquier triángulo, el ortocentro $O$ el baricentro $B$ y el circuncentro $C$ no sólo son colineales sino que $OB:BC=1:2$ (Euler, 1765). Si esto fuera "obvio" o "esperado", probablemente se habría sabido unos 20 siglos antes en Grecia.

Answer 4

Los exponentes de la percolación bidimensional . Aquí se considera una red bidimensional en la que cada sitio se va a hacer blanco o negro con cierta probabilidad (esto se llama percolación de sitio), o alternativamente, se eliminan los enlaces entre los sitios con cierta probabilidad (esto se llama percolación de enlace). Entonces, lo que se encuentra es que existe una probabilidad crítica por encima de la cual habrá un grupo infinito del mismo color en el caso de la percolación de sitios, en el caso de la percolación de enlaces habrá un conjunto infinito de sitios conectados cuando la probabilidad de elegir enlaces entre sitios sea mayor que la probabilidad crítica (que se sabe que es exactamente $\frac{1}{2}$ ).

Uno puede entonces hacerse preguntas como la probabilidad de que puntos a una distancia $R$ separados están en el mismo clúster se comporta para grandes $R$ cuando el sistema está en el umbral de percolación. El exponente puede calcularse y resulta ser un número racional. También se pueden considerar exponentes asociados a la aproximación al umbral de percolación. Por ejemplo, el tamaño de los conglomerados más grandes crecerá a medida que nos acerquemos a la probabilidad crítica de percolación $p_c$ como $(p - p_c)^{-\nu}$ y se puede demostrar que $\nu = \frac{4}{3}$ .