Una fracción continua conjetural $\phi^\phi$

Question

Como he explicado anteriormente, soy un "hobbyst" matemático (ver aquí o aquí); me gusta descubrir fracciones continuas mediante el uso de diversos algoritmos he estado creando durante varios años. Esta mañana, recibí algunos casos especiales de un lugar pesado de expresión en el que estaba trabajando, la búsqueda de la hermosa identidades: $$ \phi^\phi \;=\; 2 + \displaystyle\frac{2\left(1-1/\phi\right)/\phi} {2\left(2-1/\phi\right) + \displaystyle\frac{3\a la izquierda(1-2/\phi\right)/\phi} {3\left(2-1/\phi\right) + \displaystyle\frac{4\left(1-3/\phi\right)/\phi} {4\left(2-1/\phi\right) + \displaystyle\frac{5\left(1-4/\phi\right)/\phi} {5\left(2-1/\phi\right) + \;\ddots }}}} $$ Equivalentemente, $$ \phi^\phi \;=\; 2 + \displaystyle\frac{2/\phi\left(\phi-1\right)} {2\sqrt5 + \displaystyle\frac{3\left(\phi-2\right)} {3\sqrt5 + \displaystyle\frac{4\left(\phi-3\right)} {4\sqrt5 + \displaystyle\frac{5\left(\phi-4\right)} {5\sqrt5 + \;\ddots }}}} $$ donde $\phi$ es la proporción áurea.

Yo estaba muy emocionada de haber encontrado esta $\phi^\phi$ fórmula y mi pregunta es acerca de cómo la original es: ¿alguien ya lo ven o podría estar seguros en el supuesto de que es nuevo? Del mismo modo $$ \phi^{2/\phi} \;=\; 2 + \displaystyle\frac{2\left(1-2/\phi\right)} {2\phi + \displaystyle\frac{3\left(1-3/\phi\right)} {3\phi + \displaystyle\frac{4\left(1-4/\phi\right)} {4\phi + \displaystyle\frac{5\left(1-5/\phi\right)} {5\phi + \;\ddots }}}} $$ Mediante el uso de un más compacto de la notación (ver al final de este mensaje para obtener una explicación acerca de cómo la lea), otras identidades para $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[4]{5}$, etc. sería:

$$ \sqrt [] {+1} \;=\;2+ \displaystyle\operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac {\left(n+1\right)\left(1-\right)/\left(a+1\right)} {\left(n+1\right)\left(1+a/\a la izquierda(un+1\right)\right)} $$

Estas identidades caso especial de la siguiente conjetura de identidad (por supuesto, cuando se pregunta si las anteriores fórmulas son conocidos o no, también significa la siguiente fórmula debe ser nuevo también): $$ \left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)^{x-1} \;=\;2+ \displaystyle\operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac {\left(n+1\right)\left(x-n-1\right)/x} {\left(n+1\right)\left(x+1\right)/x} \etiqueta{1}\label{1} $$ que he encontrado de una conjetura general están relacionados con los siguientes continuó fracción: $$ g\left(k,x\right) = \displaystyle\operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac {\left(n+1\right)\left(k-n-k/x\right)/x} {\left(n+1\right)\left(1+1/x\right)} $$ para los que me empíricamente di cuenta de la relación (con $\textrm{B}$ la función beta): $$ \begin{array}{l} 2\;+\; g\left(\alpha,\xi\right) \;+\; g\left(\alpha,\displaystyle\frac{\xi}{\xi-1}\right) \\[8pt] \qquad\qquad =\; \alpha\left(\xi-1\right)^{\alpha/\xi-1}\left(\displaystyle\frac{\xi}{\xi-1}\right)^{\alpha-2} \textrm{B}\left(\alpha/\xi, \alpha-\alpha/\xi\right) \end{array} \etiqueta{2}\label{2} $$ donde es fácil notar que en el caso de $\alpha=\xi/\left(\xi-1\right)$ $g\left(\alpha,\xi\right)=0$ conduce a una identidad que contiene un único continuo fracción (que más tarde puede ser simplificado como el anterior).

La anterior notación es la que yo uso; me parece que es conveniente y se puede encontrar por ejemplo en Fracciones continuas con las Aplicaciones por Lorentzen & Waadeland, pero sé que algunas personas no le gusta, tiene que leerse de la siguiente manera: $$ a_0 + \operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{a_n} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \ddots}}} $$

Answer 1

Set $C_1=2-1/\phi$, entonces su CF puede ser escrito como ($\phi^2=\phi+1$): $$ \phi^{\phi}=2+\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{(n+1)\left(1-n/\phi\right)/\phi}{(n+1)C_1}\right)=\ldots=2+C_1\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\frac{1}{5}(n+1)(\phi-n)}{n+1}\right) $$ Yo ahora uso el siguiente Teorema se encuentra en [1] p.369 $$ I=\int^{\infty}_{0}\frac{e^{-tz}}{\left(\cosh(t)+a\sinh(t)\right)^b}dt= $$ $$ =\frac{1}{z+ab+ab+}\frac{1\cdot b(1-a^2)}{z+a(b+2)+}\frac{2(b+1)(1-a^2)}{z+a(b+4)+}\frac{3(b+2)(1-a^2)}{z+a(b+6)+\ldots}$$

con $\Re(a)>0$, me puse $z=-ab$, $b=-\phi$, $1-a^2=\lambda$, y volver a escribir el último continuó fracción como $$ \textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{(n+1)(-\phi+n)\lambda}{2a(n+1)}\right)=2 a \textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{(n+1)(-\phi+n)\lambda/(4a^2)}{(n+1)}\right). $$ Suponiendo que $\lambda/(4a^2)=-1/5$,$(1-a^2)/(4a^2)=-1/5$, o el equivalente en $a=\sqrt{5}$ y, por tanto,$z=(5+\sqrt{5})/2$, entonces el Teorema de $$ I\cdot b(1-a^2)-ab-2a-z=\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\frac{(n+1)}{5}(b+n)(1-a^2)}{z+a(b+2n+2)}\right)\\=2a\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\frac{(n+1)}{5}(\phi-n)}{(n+1)}\right)\tag1 $$ Pero a partir de la conjetura $$ 2+C_1\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\frac{(n+1)}{5}(\phi-n)}{(n+1)}\right)=\phi^{\phi} $$ Así, podemos encontrar el siguiente notable integral de la $I$. $$ I=\int^{\infty}_{0}e^{-t(2+\phi)}\left(\cosh(t)+\sqrt{5}\sinh(t)\right)^{\phi}dt=\frac{1}{2}\left(\phi^{\phi}-\frac{1}{\phi}\right)\tag2 $$ La integral y su cf expansión son equivalentes.

[1]: H. S. de la Pared, "Analítica de la Teoría de Fracciones continuas", Van Nostrand, Nueva York (1948).

Ahora la parte de la prueba de la conjetura:

Euler continuó fracción de ${}_2F_1(a,b;c;z)$ (ver [2] a continuación): $$ c\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{{}_2F_1(a,b+1;c+1;z)}=c+(b-a+1)z+\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{-(c-a+n)(b+n)z}{c+n+(b-a+n+1)z}\right) \tag3 $$ Conjunto $c-a=1$, $b=-\phi$, $c-1+(b-a)z=0$ en Euler expansión, entonces $$ c\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{{}_2F_1(a,b+1;c+1;z)}=z+1+\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{(1+n)(\phi-n)z}{(n+1)(z+1)}\right)= $$ $$ =z+1+(z+1)\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{(1+n)(\phi-n)z/(z+1)^2}{n+1}\right) $$ Resolver ahora la ecuación de $z/(z+1)^2=1/5$, nos encontramos con $z=\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})$, por lo tanto $$ c\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{{}_2F_1(a,b+1;c+1;z)}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{-\phi}= $$ $$ =\frac{5-\sqrt{5}}{2}+\frac{5-\sqrt{5}}{2}\textbf{K}^{\infty}_{n=1}\left(\frac{\frac{(1+n)}{5}(\phi-n)}{n+1}\right) $$ A partir de esta identidad la conjetura de la siguiente manera.

[2]: L. Lorentzen y H. Waadeland, "Fracciones continuas con Aplicaciones", Elsevier Science Publishers B. V., Holanda septentrional, 1992.