¿Cuál es la prueba completa de que la velocidad de la luz en el vacío es constante en la mecánica relativista?

Question

Estudio matemáticas en la universidad y tenemos una asignatura sobre relatividad.

En los principios fundamentales he leído que la velocidad de la luz es invariante ya que podemos calcularla a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Mi problema es que las ecuaciones de Maxwell que conozco no son relativistas. ¿Cuál es la forma clara de formular las ecuaciones de Maxwell con respecto al espaciotiempo relativista? Usando esa formulación ¿obtenemos el mismo valor para $c$ ? ¿Cómo lo hacemos?

Editar: Ahora está claro cuál era mi problema después de las respuestas.

El concepto equivocado que tenía era ese: A partir de las ecuaciones clásicas de maxwell podemos calcular la velocidad de la luz, y con esa información podemos construir el espaciotiempo relativista donde las ecuaciones de maxwell podrían ser diferentes. Y eso me resultaba extraño.

De las respuestas se desprende que la velocidad invariante de la luz es una observación y no un resultado.

Ps: Me parece interesante que mi enfoque matemático no haya considerado la posibilidad de que algo sea sólo una observación, no un resultado.

Answer 1

En los principios fundamentales he leído que la velocidad de la luz es constante ya que podemos calcularla a partir de las ecuaciones de Maxwell.

El hecho de que la velocidad de la luz pueda deducirse de las ecuaciones de Maxwell no no por sí mismo, implica que la velocidad de la luz es constante en todos los marcos de referencia. Ciertamente, las ecuaciones no hacen una referencia obvia a un marco de referencia; pero una vez que has hecho la conexión entre los campos eléctricos y magnéticos y la luz, parece bastante obvio cuál es el marco de reposo "natural" (las negritas son mías):

Apenas podemos evitar la inferencia de que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos.

- James Clerk Maxwell, Sobre las líneas de fuerza físicas

En otras palabras, se podría imaginar fácilmente un mundo en el que las ecuaciones de Maxwell sólo fueran válidas en el marco de reposo del éter luminoso, y desde 1860 hasta 1905 aproximadamente, éste es precisamente el universo en el que los físicos pensaban que vivíamos. En un universo así, las ecuaciones de Maxwell tendrían un aspecto diferente en distintos marcos de referencia; una versión "completa" de estas ecuaciones incluiría términos que dependieran de la velocidad del observador $\vec{v}$ con respecto al éter. No hay nada matemáticamente incoherente en las ecuaciones que describen dicho Universo.

Lo que estas ecuaciones son Sin embargo, hay dos cosas que no concuerdan: (1) la evidencia experimental y (2) nuestro sentido de la simetría. El experimento de Michelson-Morley fue diseñado para detectar el movimiento de la Tierra en relación con el éter, es decir, para verificar indirectamente la presencia de estos $\vec{v}$ -en las hipotéticas ecuaciones de Maxwell. Por supuesto, se quedaron cortos.

El otro problema es que parece haber muchas coincidencias convenientes entre lo que parecen ser los mismos fenómenos descritos en diferentes marcos de referencia:

Se sabe que la electrodinámica de Maxwell -tal como se entiende habitualmente en la actualidad-, cuando se aplica a los cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor. En este caso, el fenómeno observable sólo depende del movimiento relativo del conductor y del imán, mientras que la opinión habitual establece una distinción tajante entre los dos casos en los que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. En efecto, si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, surge en la vecindad del imán un campo eléctrico con una energía determinada, que produce una corriente en los lugares donde se encuentran las partes del conductor. Pero si el imán está parado y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en la vecindad del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no corresponde ninguna energía, pero que da lugar -suponiendo la igualdad del movimiento relativo en los dos casos discutidos- a corrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que las producidas por las fuerzas eléctricas en el primer caso.

Ejemplos de este tipo, junto con los intentos infructuosos de descubrir cualquier movimiento de la tierra en relación con el "medio luminoso", sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como los de la mecánica, no poseen propiedades correspondientes a la idea del reposo absoluto.

- Albert Einstein, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento

O, para resumir: si muevo una bobina cerca de un imán, el campo magnético hace que las cargas fluyan. Si muevo un imán cerca de una bobina, el cambio de campo magnético provoca un campo eléctrico, que hace que las cargas fluyan. Estas dos descripciones parecen muy diferentes y, sin embargo, de alguna manera dan lugar a exactamente la misma cantidad de corriente en la bobina. Einstein sostenía que esto no podía ser una coincidencia, y que sólo debía importar la velocidad relativa.

Si te lo crees, entonces descubres (como hizo Einstein) que cuando pasas a otro marco de referencia, los campos eléctricos y magnéticos se entremezclan entre sí. Si miras el enlace anterior al artículo original de Einstein, el §6 describe cómo los campos eléctrico y magnético se transforman el uno en el otro. Su notación es un poco anticuada: lo que él llama $(X, Y, Z)$ que hoy en día solemos llamar $(E_x, E_y, E_z)$ y lo que él llama $(L, M, N)$ normalmente llamaríamos a $(B_x, B_y, B_z)$ . En diferentes marcos de referencia que se mueven uno respecto al otro en el $x$ -dirección, todos estos componentes cambian, y los componentes $E_y$ , $E_z$ , $B_y$ y $B_z$ se mezclan entre sí. En otras palabras, las intensidades de campo eléctrico y magnético observadas por el Observador A y el Observador B no son necesariamente las mismas.

Estas transformaciones entre los campos son una consecuencia necesaria del postulado de que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia. Pero las ecuaciones de Maxwell no necesariamente implica que las leyes de la física son todas iguales en esos marcos de referencia; son agnósticos al respecto. Históricamente, los físicos creyeron en un principio que existía un marco de referencia privilegiado en el que las ecuaciones de Maxwell se cumplían con exactitud, y sólo después de una cuidadosa experimentación y una cuidadosa reflexión nos dimos cuenta de que las ecuaciones de Maxwell también eran coherentes con el principio de relatividad.

Answer 2

Es un axioma basado en la observación. Hasta donde yo sé, eso significa que no se puede demostrar.

Además, las ecuaciones de Maxwell son covariantes relativistas. Lo que hay que tener en cuenta es que el campo eléctrico y el magnético se mezclan por las transformaciones de Lorentz. Piensa en la ley de fuerza sobre una carga en movimiento:

$$\mathbf{F} = q \mathbf{E} + q\mathbf{v}\times \mathbf{B}.$$

Ahora, imagina que hay una carga que se mueve a velocidad $\mathbf{v}$ a través de algún campo magnético, y no hay campo eléctrico. Verás que la carga se acelera bajo la influencia de la fuerza magnética, curvando su trayectoria. Ahora, imagina que un observador que también se mueve a $\mathbf{v}$ instantáneamente, ve. Ese observador ve una carga instantáneamente estacionaria, por lo que no puede experimentar una fuerza magnética. Sin embargo, ese observador tiene que ver que la carga se acelera de alguna manera, porque usted la vio acelerar. Ese sólo puede ser el caso si ese observador piensa que hay campos eléctricos y magnéticos presentes.

Answer 3

Como se ha mencionado en otras respuestas, las ecuaciones de Maxwell son efectivamente invariantes bajo transformaciones de Lorentz. La manera más fácil de ver esto es escribirlas en una forma manifiestamente covariante. Esta forma es: \begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= j^\nu \\ \partial^\tau F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\tau} + \partial^\nu F^{\tau\mu}&=0 \end{align} donde $F^{\mu\nu}$ es tensor electromagnético (que contiene el campo eléctrico y magnético en una matriz de 4x4), $j^\mu$ es el cuatro corrientes (que contiene la densidad de carga y la densidad de corriente en un cuatro vector) y las unidades naturales $\epsilon_0 = \mu_0 = c=1$ se utilizan en aras de la simplicidad.

Tensor electromagnético $F^{\mu\nu}$ se da en términos de cuatro potenciales $A^\mu$ (que contiene el potencial eléctrico (escalar) y magnético (vectorial)) está relacionado con $F^{\mu\nu}$ a través de \begin{equation} F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \end{equation} y cuando lo conectas $\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu$ sin fuentes ( $j^\mu=0$ ), se obtiene \begin{equation} \Box A^\mu-\partial^\mu(\partial\cdot A)=0. \end{equation} Sin embargo, hay múltiples opciones de $A^\mu$ que dan lo mismo $F^{\mu\nu}$ . Transformación $A^\mu \to A^\mu+\partial^\mu \xi$ , donde $\xi$ es una función escalar, deja $F^{\mu\nu}$ sin cambios y se llama "transformación de calibre". Si se toma el original $A^\mu$ y hacer una transformación gauge con $\xi=\partial\cdot A$ se obtiene algo llamado "gauge de Lorentz", caracterizado por $\partial\cdot A=0$ . En la galga de Lorentz, la ecuación anterior se simplifica a \begin{equation} \Box A^\mu=0 \end{equation} que es una ecuación de onda para ondas que se mueven a la velocidad $c$ . Por tanto, de las ecuaciones de Maxwell se deduce que la radiación electromagnética, incluida la luz, viaja a la velocidad $c$ en el vacío.

Answer 4

Ecuaciones de Maxwell son invariante bajo transformaciones de Lorentz, que es lo mismo que decir que siguen la relatividad especial.

Puedes intentar convencerte transformando a otro marco de referencia inercial $S'$ y derivando la ecuación de onda de los campos, deberías encontrar que $c' = c$

Answer 5

Se puede deducir la forma de la transformación de Lorentz, sin poder fijar un valor para $c$ como el único miembro experimentalmente consistente de un pequeño puñado de posibles transformaciones necesariamente lineales que se desprenden de los postulados básicos de homogeneidad, isotropía y continuidad del espaciotiempo junto con el principio de Galileo de que sólo se puede detectar el movimiento relativo entre diferentes observadores inerciales.

Una vez que se conoce la transformación de Lorentz, entonces debe seguirse que cualquier cosa que se mueva a la velocidad $c$ debe medirse que se mueve a esa misma velocidad por todos los observadores inerciales.

Esto no es una prueba, por supuesto; es simplemente mostrar que la constancia de $c$ El postulado puede ser sustituido por otros axiomas. Pero no deja de ser interesante que se pueda hacer esta sustitución, ya que los otros axiomas son mucho más cotidianos e intuitivamente obvios. Esto es El enfoque de Ignatowski . Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí o los periódicos:

Jean-Marc Lévy-Leblond, "Una derivación más de la transformación de Lorentz", Am. J. Phs. 44

Palash B. Pal, "Nothing but Relativity", Eur.J.Phys.24:315-319,2003