¿Existe en cualquier lugar de una lista completa de los pequeños género modular curvas de $X_G$, para G un subgrupo de GL(2,Z/(n))$? (dicen género <= 2), junto con las ecuaciones? Estoy particularmente interesado en el género uno de los casos, y más aún en split/no-split cartan, con o sin normalizadores.
Ken Mcmurdy tiene una lista aquí para $X_0(N)$, y Burcu Baran escribe las ecuaciones para todos los $X_{ns}^+(p)$ de género <=2 en este preprint.
Explícita de las ecuaciones de X_1(N) que se han optimizado para reducir el grado y el coeficiente de tamaños están disponibles para N <= 50 en http://math.mit.edu/~drew/X1_curves.txt. Estos fueron obtenidos mediante el algoritmo descrito en http://arxiv.org/abs/0811.0296.
EDIT: las Tablas de definición de las ecuaciones de X_1(N) para N <= 189 están disponibles ahora en http://www-math.mit.edu/~drew/X1_altcurves.html
Existe también el papel por un Corredor, Alto y Sutherland "Modular polinomios a través de isogeny volcanes" http://arxiv.org/abs/1001.0402 lo que da un rápido (en la práctica) algoritmo para calcular polinomios modulares $\Phi_l(X,Y)$ (este es el polinomio de satisfacciones $\Phi_l(j(z),j(lz)) = 0$ donde $j$ es lo habitual en la $j$-invariante) por $l$ prime que es un modelo singular para $X_0(l)$, y otros análogos polinomios asociados, por ejemplo, con el sistema modular de la función$f$, lo que genera un campo de función asociada con una congruencia subgrupo de grado 72 $\Gamma_0(1)$. Sutherland sólo habló ayer sobre esto. Por ejemplo, se puede calcular el $\Phi_l(X,Y)$ $l$ alrededor de 20000. La característica interesante de este algoritmo es que puede calcular el $\Phi_l$ modulo de un pequeño prime sin calcular que más de $\mathbb{Z}$ y la reducción.
En los papeles por Cummins y Pauli y el Yang, que básicamente hacen sus cálculos mediante el uso de "unidades modulares" (cf. Kubert y Lang), que son funciones explícitas en $X(N)$ (a veces con carácter), de la que conocemos el divisor, y luego combinarlos de diversas maneras y el uso de Riemann-Roch tipo de cálculos. El método por el Corredor, Alto y Sutherland utiliza el sistema modular de la interpretación de $\Phi_l$ en términos de isogenies, en un lugar de forma inteligente. Siento que con el tiempo esto va a ser el camino a seguir.
Cummins y Pauli se han calculado los generadores para la función de los campos de todos los congruencia de los subgrupos de $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ de género $\le 24$ en la:
http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/cummins/congruence/
No he mirado esto por un par de meses, pero creo que el papel de compañero http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/12/12.2/pp243_255.pdf analiza los generadores. En tanto, hay un papel por Yifan Yang "la Definición de las ecuaciones de curvas modulares" los Avances en las Matemáticas Volumen 204, Número 2, 20 De Agosto De 2006, Páginas 481-508
el que da las tablas de ecuaciones para muchos modular curvas, y se describe una metodología para la búsqueda de la "buena" de las ecuaciones (es decir, aquellos con los pequeños y los coeficientes de un pequeño número de términos en la definición de polinomios)
No, no existe una lista completa de las ecuaciones: las conocidas ecuaciones están repartidos en varios papeles, y algunas personas (por ejemplo, Noam Elkies, John Voight; e incluso me conozco) ecuaciones que no han sido publicados en cualquier lugar.
Cuando tengo más tiempo, voy a dar los datos bibliográficos de algunos de los documentos que dan listas de algunas de estas ecuaciones. Los nombres de algunos autores relevantes: Ogg, Elkies, González, Reichert.
En mi opinión, sería un muy digno servicio a la teoría de los números comunidad para crear una fuente electrónica de información modular de curvas (incluyendo curvas de Shimura) de la baja de género, incluyendo género fórmulas, gonality, automorphism grupos, explícita definición de ecuaciones...En mi absolutamente la opinión de los expertos (que es, puedo hacer y el uso de tales cálculos en mi propio trabajo, pero no soy especialmente un buen computacional número teórico: es decir, incluso puedo hacer estos cálculos, así que sé que no están tan duro), esto es factible, e incluso más bien modesto proyecto en comparación con algunos relacionados con las cosas que ya hay, por ejemplo, William Stein formas modulares bases de datos y John Voight del álgebra de cuaterniones paquetes.
Es posible que es un poco demasiado fácil para nuestro propio bien, es decir, no es el sentido de que sólo debe hacerlo usted mismo. Pero creo que por las actuales normas de lo que debe ser comunal conocimiento matemático, este es un gran desperdicio de una gran cantidad de tiempo de la gente. E. g., por casualidad acabo de hablar con uno de mis estudiantes, J. Stankewicz, que ha pasado algún tiempo la aplicación de software para enumerar todos Atkin-Lehner cocientes de semistable curvas de Shimura (sobre Q) con delimitada género. Yo le asigna este pequeño proyecto sobre la base de que sería bueno tener esa información, y creo que ha aprendido algo de ella, pero la verdad es que hay gente que probablemente ya tienes el código para hacer exactamente esto y en cierto modo me arrepiento de que él pasó mucho tiempo de reinventar este particular de la rueda. (Sí, él lee MO, y sí, esta es una especie de disculpa en mi nombre.)
Tal vez este es un buen tema para el próximo SAGE días en el MSRI?
Anexo: Algunas referencias:
Kurihara, Akira Algunos ejemplos de ecuaciones de definición de curvas de Shimura y la Mumford uniformización. J. Fac. Sci. Univ. Tokio Secta. IA Matemáticas. 25 (1979), no. 3, 277--300.
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Reichert, Markus A. determinación Explícita de no trivial de torsión estructuras de curvas elípticas sobre cuadrática número de campos. De matemáticas. Comp. 46 (1986), no. 174, 637--658.
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González Rovira, Josep Ecuaciones de hyperelliptic modular curvas. Ann. Inst. De Fourier (Grenoble) 41 (1991), no. 4, 779--795.
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Noam Elkies, las ecuaciones para algunos hyperelliptic modular curvas, a principios de los años 1990. [A lo que yo sé, nunca se han dado a conocer públicamente, pero si quieres saber de una ecuación de un sistema modular de curva, tratar de correo electrónico Noam Elkies!]
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Elkies, Noam D. Shimura curva de cálculos. Algoritmos de la teoría de números (Portland, or, 1998), 1--47, Notas de la Conferencia en Comput. Sci., 1423, Springer, Berlín, 1998.
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Un algoritmo que se utilizó para encontrar explícita la definición de las ecuaciones de $X_1(N)$, $N$ prime, se puede encontrar en
Pete L. Clark, Patrick K. Maíz y la UGA VIGRE Número de Grupo de Teoría, Cálculo De Curvas Elípticas Con Complejo de Multiplicación, preprint.
Esto es sólo un primer paso. Probablemente he encontrado algo como 10 más artículos sobre este tema, y yo no estaba familiarizado con algunos de los trabajos que otros han mencionado.
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