Probabilidad de seleccionar un número natural par del conjunto $\mathbb N$ .

Question

He confirmado en este hilo que hay tantos números naturales pares como números naturales.

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Pregunta : Supongamos que he seleccionado un número $n \in \mathbb N$ ; ¿cuál es la probabilidad de que $n$ ¿está a mano?

Mi pensamiento :

$\text{Probability} = \dfrac{\text{n(E)}}{\text{n(S)}}$

Aquí $\text{n(S)}$ es el conjunto de todos los números naturales, es decir $\mathbb N$ y $\text{n(E)}$ es el conjunto de todos los números naturales pares.

Como se ha demostrado que el número de elementos es el conjunto $\mathbb N$ es exactamente igual al número de elementos del conjunto de los números naturales

(es muy fácil poner el conjunto de números naturales, $\Bbb N=\{0,1,2,3,\dots\}$ en correspondencia uno a uno con el conjunto $\text{E}=\{0,2,4,6,\dots\}$ de números naturales pares; el mapa $\Bbb N\to \text{E}:n\mapsto 2n$ es claramente una biyección);

Así, Probabilidad $= \boxed 1$

Sé que esto es definitivamente incorrecto. La probabilidad debe ser $0.5$ . ¿Pero en qué me equivoco?

¿Alguien puede explicarlo?

Gracias.

Answer 1

Cuando se escribe Probabilidad = $\dfrac{\text{n(E)}}{\text{n(S)}}$ , estás asumiendo que estás sacando un número uniformemente al azar, lo que significa que cada número tiene la misma probabilidad de salir. Esta fórmula es válida si $\text{E}$ es un conjunto finito, pero no si $\text{E}$ es infinito. De hecho, podemos demostrar que no hay manera de dibujar uniformemente al azar sobre $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}$ como se dice en los comentarios. No se puede hacer eso y al mismo tiempo satisfacer las propiedades que se esperan de las probabilidades. Ver la respuesta de Yikai para una prueba de este hecho, si tienes algún conocimiento de la teoría de la medida.

Así, si se quiere calcular alguna probabilidad de obtener un número par entre los números naturales, primero hay que especificar cuál es la distribución en $\mathbb{N}$ pero no puede ser la distribución uniforme.

Answer 2

Primero hay que definir una medida de probabilidad sobre el espacio muestral $\Omega = \mathbb{N}$ . En tu pregunta, el álgebra de sigma contiene todos los conjuntos simples, es decir, $\{i\}$ para $i \geq 0$ .

Supongamos que existe una medida de probabilidad sobre $\Omega$ tal que $\epsilon =\Pr(\{0\})= \Pr(\{1\}) = \Pr(\{2\}) = \cdots$

Por definición de probabilidad, tenemos $$ 1 = \Pr(\mathbb{N}) = \sum_{i=0}^\infty \Pr(\{i\}) = \sum_{i=0}^\infty \epsilon \tag{$ 1 $} $$ Esto es una contradicción ya que si $\epsilon > 0$ entonces $\sum_{i=0}^\infty \epsilon$ no puede ser $1$ y si $\epsilon = 0$ entonces $\sum_{i=0}^\infty \epsilon = 0$ violando $(1)$ .

Answer 3

Lo que te falta aquí es que cuando dices $$\text{Probability}=\frac{n(E)}{n(S)}$$ Te olvidas de que $N(E)$ y $N(S)$ son ambos infinitos, por lo que afirmas: $$\text{Probability}=\frac\infty\infty$$ No puedes hacer la suposición de que esto es igual a uno.

Answer 4

Usted puede definir una ley de probabilidad en el conjunto de los números naturales tal que $P(Even)=1$ por muchas vías, pero no tiene ninguna relación con la existencia de un mapeo uno a uno entre los números naturales pares y todos los números naturales. Parece que estás asumiendo que la probabilidad se define siempre como una fracción como $\dfrac{n(E)}{n(S)}$ - no lo es. Puedes definir las probabilidades como quieras, siempre que no se violen los axiomas de la probabilidad. Al definir las probabilidades como fracciones pareces sugerir la ley de la probabilidad uniforme, pero como otros ya han dicho la ley de la probabilidad uniforme en un conjunto infinitamente contable es imposible.

Volviendo a tu pregunta "¿en qué me equivoco?" - te equivocas al suponer que el mapeo uno a uno entre los números pares y todos los números naturales está relacionado de alguna manera con la definición de una ley de probabilidad en el conjunto de los números naturales.

Answer 5

El OP requería implícitamente la equiprobabilidad para todo natural. Pero intentemos otra cosa. Preguntamos lo siguiente (a partir de $1$ no $0$ )

¿Cuál es la probabilidad de elegir un número natural par si la probabilidad de cada número $n$ ser elegido es $p_n = 2^{-n}?$

Lo bueno aquí es que acabamos de dotarnos de una medida de probabilidad adecuada sobre $\mathbb N$ porque

$$\sum_{n=1}^{\infty}p_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac {1}{2^n} = 1$$

La suma de probabilidades relacionadas con los números pares bajo este esquema es

$$P[n \;\;\text{is even}] = \frac 1{2^2} + \frac 1{2^4} + \frac 1{2^6} +... =\frac 1{(2^2)} + \frac 1{(2^2)^2} + \frac 1{(2^2)^3}+... $$

$$=\frac 1{4} + \frac 1{4^2} + \frac 1{4^3}+... = \frac 13$$

...solamente. En realidad se trata de un caso especial del Distribución geométrica con el parámetro $p=1/2$ .