¿Cómo explicarle a mi hija que $\frac {2}{3}$ es mayor que $\frac {3}{5}$?

Question

Estaba realmente molesta mientras trataba de explicarle a mi hija que $\frac 23$ es mayor que $\frac 35$ y ella siempre afirmaba que $(3$ es mayor que $2$ y $5$ es mayor que $3)$ entonces $\frac 35$ debe ser mayor que $\frac 23$.

En esta etapa, ella no puede calcular el decimal, por lo que no puede darse cuenta de que $(\frac 23 = 0.66$ y $\frac 35 = 0.6).

Ella tiene $8$ años.

Answer 1

No tengo experiencia con niños, así que no tengo idea si esto solo haría las cosas más confusas. Pero podrías intentar aprovechar los denominadores comunes:

Arma dos pilas que contengan cada una $15$ "algos" idénticos (¿cuadrados de papel?). Ahora podemos hablar de colorear $2/3$ de los cuadrados de negro en la primera pila, y colorear $3/5$ de los cuadrados de negro en la segunda pila. Para hacer esto de manera intuitiva, explica que esto significa, en la primera pila, "dos de cada tres cuadrados están sombreados". Así que para demostrar visualmente, cuenta de tres en tres cuadrados de la primera pila y por cada tres contados, colorea dos de ellos. Haz esto hasta que toda la pila haya sido contada.

Luego pasa a la segunda pila. Nuevamente, "tres de cada cinco cuadrados están sombreados", así que cuenta de cinco en cinco cuadrados, y por cada cinco contados, colorea $3$ de ellos. Como antes, haz esto hasta que toda la pila haya sido contada.

Ahora reitera que $2/3$ de los cuadrados en la primera pila estaban sombreados de negro, y lo mismo para $3/5$ de los cuadrados en la segunda pila. Por último, cuenta realmente el número total de cuadrados negros en cada una, y por supuesto, la pila de $2/3$ tendrá la mayoría.

---

Algo desafortunadamente, la única razón por la que esto funciona tan bien es precisamente porque $15$ es un número divisible por $3$ y $5$. Si ella intenta investigar, por ejemplo, $6/11$ y $5/9$ usando un método similar (pero con un número de piezas "incorrecto"), no funcionará tan bien. Por lo tanto, querrás mirar otras respuestas o meditar más sobre cómo transmitir la idea última de que $x/y$ responde, en cierto sentido, a la pregunta "¿cuántas partes de un todo?", y por qué eso hace que las comparaciones de "menor que" y "mayor que" sean más complicadas que con los enteros.

Una forma de hacer esto sería explicar que el número de abajo de una fracción en realidad no está contando nada en absoluto. En su lugar, indica cuántas piezas iguales se ha dividido el "todo". Solo el número de arriba está contando algo (cuántas piezas de ese tamaño). Es más complicado comparar $x/y$ y $w/z$ dado que el "todo" se ha dividido en piezas de diferentes tamaños dependiendo del denominador. Quizás esto se pueda demostrar con un enfoque tradicional de "cortar la manzana" / "cortar el pastel". Muestra, por ejemplo, que $1/2, \ 2/4, \text{ y } 3/6$ son lo mismo a pesar de que $1<2<3$ y $2<4<6$.

Answer 2

Compra $2$ pasteles del mismo tamaño (preferiblemente no muy grandes), digamos pastel $A$ y pastel $B$.

Corta el pastel $A$ en $5$ trozos iguales.

Corta el pastel $B$ en $3$ trozos iguales.

Dale a tu hija una elección: ella puede elegir entre $3$ trozos de pastel $A$ o $2$ trozos de pastel $B$. Para que la elección sea más fácil, coloca esos trozos uno al lado del otro, para que pueda ver que elegir $2$ trozos de pastel $B$ es más beneficioso.

Si aún elige trozos del pastel $A$, al menos tú obtienes más pastel que ella.

EDITAR $1$: Como mencionó @R.M. en su comentario, este "ejercicio" está destinado a ayudar a tu hija a comprender que su razonamiento no es completamente correcto. Después de que lo entienda, será mucho más fácil mostrarle una "prueba" más adecuada que se generalice a todas las fracciones.

EDITAR $2$: Como algunas personas mencionaron en los comentarios, no es necesario usar pasteles. Podrías usar $2$ barras de chocolate o cualquier cosa que te guste (o le guste) que se pueda dividir fácilmente en trozos iguales.

Answer 3

El concepto de "un denominador más grande hace una fracción más pequeña" se entiende fácilmente y se explica a un niño pequeño. Solo muéstrale 1/5 de un pastel versus 1/3. O explícale que cuando divides entre más personas, hay menos por persona. Así puedes explicar por qué su explicación debe estar equivocada sin hacer referencia a la expansión decimal.

Porque 3 es mayor que 2, se sigue que 3/3 es mayor que 2/3. Porque 3 es menor que 5, se deduce que 3/3 es mayor que 3/5. Combinando los dos, podemos comparar una fracción con numerador más grande y denominador más pequeño con una con numeradores más pequeños y denominador más grande. Pero cuando uno tiene tanto numerador como denominador más grandes, no podemos hacer esta comparación solo en esta base y necesitamos más información.

Para tu ejemplo específico, para ver por qué 2/3 es mayor que 3/5 sin expansiones decimales, una imagen más detallada (rebanadas de un pastel) puede funcionar. O aritmética como multiplicar en cruz la desigualdad, aunque eso puede estar por encima del nivel de un niño pequeño.

Answer 4

Diría que lo importante es comparar. Es relativo. Ambos números deben tenerse en cuenta en una sola vista.

No se trata de lo grande que sea cada número, sino de cómo se relacionan.

No puedes mirar solo el número superior o el número inferior por separado. ¿Valen más 3 centavos que 2 nickels? No puedes decir 3$>$2 y listo. Tampoco puedes mirar centavos$<$nickels y estar satisfecho (ya que, por supuesto, 6 centavos $>$ 1 nickel). Tienes que mirar ambas partes juntas.

Enfatiza esta frase/concepto... trata de lo lleno que está. Muéstrale un gran auditorio o estadio... si 20 de los asientos tienen gente, ¿dirías que está muy lleno? ¿Más que 12 personas apretadas en un cuarto pequeño o un armario?). Puede ser algo a lo que vuelvas una y otra vez en tu vida diaria hasta que lo entienda. ¿Sientes que este autobús está bastante lleno? ¿Está este estacionamiento más lleno que aquel? ¿Está este bol de sopa más lleno que aquel? ¿Está tu mochila más llena que ese cubículo? ¿Está este cuaderno bastante lleno? Eso ayuda a apreciar la idea de la comparación (y desarrollar una mejor comprensión de los tamaños relativos de fracciones/porcentajes... una de las bases más útiles para interactuar con nuestro mundo cotidiano a lo largo de nuestras vidas)

Rápidamente se llega al hecho de que mientras añadir más elementos arriba (aumentando el numerador) HACE que cualquier situación esté más llena... añadir más espacios abajo (aumentando el denominador) la hace MENOS llena. Así que si quieres seguir esa dirección, puedes ayudarla a entender que hacer que el número inferior sea más grande siempre hace que una fracción sea peor. Pero lo importante en general no es realmente cuántas piezas hay, cuántos "espacios" hay, o cuán grande es cada pieza, sino la imagen completada, lo "llena" que es realmente en toda la combinación, para ayudar realmente a entender.

La mejor ayuda para varios niños podría ser de hecho las formas clásicas. El diagrama de pastel (o diagrama de bloques similar). La mejor, la ganadora, es la más "completa", el dibujo completo. ¿Es 3/5 realmente más completo que 2/3?

Si deseas imágenes más grandes, que se puedan imprimir y luego colocar una sobre la otra, aquí tienes 3/5 y 2/3.
Si deseas reforzar la idea de que no se trata del tamaño del numerador, pregúntale si serían más llenos 25/100 y mira esa imagen. Tiene muchas partes (o asientos en la habitación) llenos. Pero también tiene muchos vacíos.

Ahora, si estás preguntando específicamente acerca de comparar 2/3 con 3/5 como habilidad específica, de hecho debido a que son tamaños relativos tan cercanos... sugeriría que puede que no haya ninguna manera muy útil para que una niña de 8 años los compare directamente sin ver la imagen de antemano... y eso no es necesariamente algo negativo. Es bueno mostrarles que hay preguntas que no pueden responder, para que esperen expandir sus horizontes y aprender nuevas herramientas. El reconocimiento de esos tamaños de fracciones viene con la práctica de verlos, al igual que atarse los zapatos.

Por eso, los porcentajes/decimales vendrán muy pronto después de esta lección en el currículo. Es probable que lleguen justo después de este cuaderno de ejercicios. Como máximo, esperaría que estén a un año de distancia.

Hasta entonces? Sugeriría que las únicas esperanzas son memorizarlo o visualizarlo. Pero realmente no es una pregunta en la que deba esforzarse mucho para ser perfecta todavía. Si no lo recuerda, podría intentar hacer dibujos cuidadoso de segmentos/bloques de tamaño igual, y hacerle ver si puede ser lo suficientemente preciso para estimar cuál está más lleno. Pero de hecho, estas fracciones en particular son tan similares que es bastante difícil dibujarlas - Yo, por mi parte, ciertamente encontré muy difícil dibujar tercios en particular cuando era niño.

Puedes intentar mirar ambas imágenes en 15avos... pero creo que la matemática necesaria para entender eso puede confundir a muchos niños, especialmente si no se explica con gran cuidado y precisión. Y aún así no sería una herramienta muy útil para responder tales preguntas futuras para una niña de 8 años típica. Introduciría conversiones/mínimos comunes y muchas matemáticas útiles... pero soy un firme creyente de que REALMENTE no quieres que los niños se pierdan tratando de hacer aritmética compleja para un problema demasiado anticipado, antes de que entiendan completamente la imaginetría base, o pueden terminar perdidos en el "porque se supone que debo" en vez de realmente entender lo que están haciendo. Realmente tiene que entender que las fracciones son comparaciones relativas, todo acerca de la plenitud, antes de poder manejar la aritmética sobre ellas afiladamente y con gran beneficio.

De hecho, argumentaría que esta pregunta no se le da a los estudiantes de esta edad buscando tanto que respondan bien. Sino que el punto es muy claro: "esto es bastante difícil de ser suficientemente preciso en, y por eso necesitamos otro camino". Hacer que los niños anhelen ese camino, y por lo tanto esperen y acojan los decimales/porcentajes (así como las matemáticas de fracciones) es algo muy beneficioso. De hecho, estos temas que vienen son probablemente la materia de matemáticas con la que el mayor porcentaje(!) de estudiantes luchan en toda la educación básica. Especialmente antes de álgebra. Cuando era estudiante, pasamos tres o cuatro años retrocediendo y martillando en ellos... y muchos aún no los entendieron. Hay muchos conceptos y situaciones diferentes para aprender a lidiar con las matemáticas de fracciones/decimales/porcentajes, y eso puede abrumar a muchos. Y tener una sólida base sobre lo que significan las ideas básicas realmente ayuda a aprender cuándo usar qué. Además, ser bueno en esto ofrecerá una base sólida para un mejor éxito en álgebra y más allá.

Así que no hay necesidad de causar un estrés injustificado. Sino una oportunidad para dirigirlo hacia una mejor comprensión de lo "llenos" que están las cosas, una herramienta que no se puede subestimar. Tranquilízala diciéndole que está bien si no responde fácilmente/correctamente a la respuesta de algunas de estas preguntas más difíciles por un tiempo. Y su frustración ahora resultará útil a largo plazo. Siempre y cuando sigas alentándola a que tiene las herramientas para responder la mayoría de estas preguntas (como usando bocetos aproximados), ella se beneficiará tanto ahora como más adelante al enfrentarse a una pregunta como esta!

Answer 5

$$\text{¡Una imagen vale más que mil palabras!}$$