probar o refutar esta desigualdad? $q(q-1)x^q-p(p-1)x^p\ge 0$

Question

Que $x\in(0,1)$ y $-1<p-q<0,p>1,p,q\in\mathbb R$. Probar o refutar %#% $ #%

Answer 1

La desigualdad es falsa. De hecho, si esto fuera cierto entonces $$ q(q-1)x^q\geq p(p-1)x^p $$ implicaría que $q\log x + \log q + \log (q-1)$ es una función creciente de $q$, para cualquier valor fijo de $x\in (0,1)$$q>1$.

En este dominio, la función es diferenciable y $$ \frac{d}{dq}\left[q\log x + \log q + \log (q-1)\right]=\log x+\frac{1}{q}+\frac{1}{p-1}. $$ Como $q\to\infty$ esta expresión tiende a $\log x<0$, por lo tanto para todos lo suficientemente grande $q$ la expresión es negativa. Por lo tanto $q\log x+\log q +\log(q-1)$ no es una función creciente, por lo que la desigualdad no es cierto.

Answer 2

La desigualdad no puede ser cierto en general. Es equivalente a\begin{align*} x^{q-p}\geq\frac{p(p-1)}{q(q-1)}. \end{align*} tenga en cuenta que $p-q<0$ y $p>1$ implica que el $q-p>0$ y $\frac{p(p-1)}{q(q-1)}>0$. Pero si $x\to0^+$, entonces el $x^{q-p}\to0$. Para ser más precisos, la desigualdad es verdadera, si y sólo si\begin{align*} x\geq\left(\frac{p(p-1)}{q(q-1)}\right)^\frac{1}{q-p}. \end{align*}