Cómo resolver esta ecuación racional y

Question

Saludos!

En una prueba recientemente terminé teniendo que resolver este para y:

$$ x = \frac{2y}{y + 1} $$

Pero me quedé pegado en la cirlces...

$$ \begin{aligned} x(y + 1 ) = 2y \\ xy + x = 2y \\ \frac{xy + x}{2} = y \\ \end{aligned} $$

Que no me lleve a nada, así que empecé a más y trató de multiplicar ambos lados por el inverso:

$$ \begin{aligned} (\frac{y+1}{2y})(x) = 1 \\ \frac{xy+x}{2y} = 1 \\ \end{aligned} $$

Y todavía no puedo ver una forma de aislar y.

La peor parte de esto es que, recuerdo, específicamente enseñó un truco para este enigma, pero no recuerdo el truco!

Wolfram da la respuesta como

$$ y = - \frac{x}{x 2} $$

pero no muestran los pasos.

Answer 1

Gracias a Timoteo y Yuan para señalar cómo el factor lo. A pesar de mis esfuerzos, nunca, nunca, nunca, nunca pude a mágicamente aparecer factores de la forma de que todo el mundo parece hacerlo inmediatamente. Suspiro.

Lo da

$$ \begin{aligned} xy + x = 2y \\ x = 2y - xy \\ x = y( 2 - x ) \\ y = \frac{x}{2-x} \\ \end{alineado} $$

que es lo mismo que la respuesta dada por Wolfram. Todo está bien con el mundo otra vez.

Gracias.

Answer 2

Otra manera de llegar a la conclusión de que, si no "ver" factores que saltan a la vista es este: Cuando vea una fracción como $\frac{2y}{y+1}$, estoy seguro de que usted sienta la necesidad de dividir en sumandos. Ahora, por supuesto, usted no puede hacerlo con la suma en el numerador, por lo que sugiere que la inversión de la totalidad de la cosa (suponiendo que todo lo que usted quiere ser distinto de cero es distinto de cero): $$ \frac{1}{x} = \frac{y+1}{2y} = \frac{y}{2y} + \frac{1}{2y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2y}. $$ Ahora resta 1/2 e invertir de nuevo para obtener el resultado.