Descomposición de un campo vectorial de campos rizo libre y gratuita-divergencia

Question

Es que siempre es posible hacer que la descomposición? Estoy preguntando porque teorema de Helmholtz dice un campo en $\mathbb{R}^3$ que se desvanece en el infinito ($r\to \infty$) se puede descomponer de manera unívoca en un degradado y un rizo. Pero también sé, por ejemplo, que un campo constante $\mathbf{E}$ $\mathbb{R}^3$ es un degradado (no unívocamente definida): $\mathbf{E}(x+y+z+\mbox{constant})$. Y el campo eléctrico es $-\nabla G+ d\mathbf{A}/dt$ donde $\mathbf{A}$ puede ser (Gauge de Coulomb) gratis-divergencia.

Por lo tanto, es siempre posible hacer la descomposición de un (regular, por supuesto) de campo en $\mathbb{R}^3$ en dos campos, libre-curl y libre de divergencia? Y en un limitado dominio?

Answer 1

Como el campo puede ser transformada de Fourier, $$\tilde{\mathbf F}(\mathbf k) = \frac1{(2\pi)^{3/2}} \iiint e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf r} \mathbf F(\mathbf r) d^3\mathbf r, $ $ podemos separar $\tilde{\mathbf F}$ en la longitudinal y atravesar partes $$ \tilde{\mathbf F}(\mathbf k) = \tilde{\mathbf F}_\parallel(\mathbf k) + \tilde{\mathbf F}_\perp(\mathbf k)$ $ donde $$ \tilde{\mathbf F}_\parallel(\mathbf k) = \hat{\mathbf k} (\hat{\mathbf k}\cdot\tilde{\mathbf F}(\mathbf k)).$ $ Esto hace que $$ \mathbf k\cdot\tilde{\mathbf F}_\perp(\mathbf k) = 0, \quad \mathbf k\times\tilde{\mathbf F}_\parallel(\mathbf k) = 0,$$ which is equivalent to ($\mathbf k \mapsto-i\nabla$) $$ \nabla\cdot{\mathbf F}_\perp(\mathbf r) = 0, \quad \nabla\times{\mathbf F}_\parallel(\mathbf r) = 0,$ $ al realizar la inversa de Fourier (requiriendo otra vez funciona). Muestra así $\mathbf F$ está dividido en una parte libre de divergencia $\mathbf F_\perp$ y sin rizo parte $\mathbf F_\parallel$.

Answer 2

La división de un campo vectorial

$$\tag{1}\vec{V}~=~\vec{V}_{\parallel}+\vec{V}_{\perp}$$

en un curl parte libre,

$$\tag{2}\vec{\nabla}\times\vec{V}_{\parallel}~=~\vec{0},$$

y una divergencia en la parte libre,

$$\tag{3}\vec{\nabla}\cdot\vec{V}_{\perp}~=~0,$$

se da como

$$\tag{4}\vec{V}_{\parallel}~:=~\vec{\nabla}(\Delta^{-1}(\vec{\nabla}\cdot\vec{V})),$$

$$\tag{5}\vec{V}_{\perp}~:=~\vec{V}-\vec{V}_{\parallel}.$$

Aquí $\Delta:=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}$ es el Laplaciano, y $\Delta^{-1}$ es un derecho inverso $\Delta\circ\Delta^{-1} = {\rm id}$.

Los operadores de $\Delta$ $\Delta^{-1}$ escalares $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ a los escalares. Los posibles problemas relacionados con cero modos y si la inversa de la $\Delta^{-1}$ está bien definido. Por lo suficientemente bien educados escalares $f$ (e implícita elección de las condiciones de contorno), la siguiente integral fórmula se aplica

$$\etiqueta{6}(\Delta^{-1}f)(\vec{x}) ~=~ - \iiint_{\vec{y}\neq\vec{x}}\frac{d^3y}{4\pi} \frac{f(\vec{y})}{|\vec{y}-\vec{x}|},$$

cf. Ecuación de Poisson.