La respuesta está justo en su propia matemática.
Se deriva que el delta V que los resultados de usar el cohete como un cohete de una sola etapa
$$\Delta V_{\text{de una sola etapa}} =
v_{ex}\ln\Bigl(\frac{M}{M-(m_{fa}+m_{fb})}\Bigr)$$
mientras que el delta V de usar el cohete como un cohete de dos etapas es
$$\Delta V_{\text{dos etapas}} =
v_{ex}
\Biggl(
\ln\Bigl(\frac{M}{M-m_{fa}}\Bigr)
+\ln\Bigl(\frac{M-(m_{fa}+m_a)}{M-(m_{fa}+m_a+m_{fb})}\Bigr)\Biggr)$$
Así que el problema en cuestión es determinar las condiciones necesarias para hacer de $\Delta V_{\text{two stage}} > \Delta V_{\text{single stage}}$.
En primer lugar, vamos a reescribir las dos etapas, resultado con el hecho de que $\ln a + \ln b = \ln(ab)$:
$$\Delta V_{\text{dos etapas}} =
v_{ex}
\ln\Bigl(\frac{M}{M-m_{fa}}\frac{M-(m_{fa}+m_a)}{M-(m_{fa}+m_a+m_{fb})}\Bigr)$$
Desde el logaritmo natural es monótonamente creciente de la función, la condición necesaria es que
$$\frac{M}{M-m_{fa}}\frac{M-(m_{fa}+m_a)}{M-(m_{fa}+m_a+m_{fb})} >
\frac{M}{M-(m_{fa}+m_{fb})}$$
Compensación de los denominadores de los rendimientos
$$M(M-(m_{fa}+m_a))\;(M-(m_{fa}+m_{fb})) >
M(M-m_{fa})\;(M-(m_{fa}+m_a+m_{fb}))$$
Esta muy bien, se reduce a $$m_a m_{fb} > 0$$
En otras palabras, dado un cohete diseñado como un cohete de dos etapas, es siempre mejor que como un cohete de dos etapas del cohete de una sola etapa del cohete.
Esto no es bastante para decir que es mejor construir un cohete de dos etapas de un cohete de una sola etapa. Si lo hiciera, la misma lógica dictaría que un centenar etapa del cohete sería mejor que un diez etapa del cohete, y así sucesivamente. Hay sanciones en el edificio que cien etapa del cohete (y en un cohete de dos etapas). Un multi-etapa del cohete ha extra motores, tanques de combustible extra y adicional de la estructura, uno para cada etapa extra. Que la masa extra, y que la masa adicional significa que las etapas inferiores también necesitan una estructura de apoyo que la masa adicional en las etapas superiores. Cada etapa adicional también introduce extra lugares donde las cosas pueden salir mal. En algún momento, dividiendo un vehículo cada vez en más etapas se convierte en contraproducente.
En la mayoría de los casos, que el punto de equilibrio es de las dos o tres de la etapa del vehículo de lanzamiento, posiblemente llevar una carga útil que es en sí mismo un cohete. (Una sola etapa del cohete que puede llevar a un tamaño razonable de la carga a la órbita está más allá de la capacidad actual de la ingeniería, la física y la química.) La mayoría de vehículo complejo jamás construido fue el cohete que llevó a los seres humanos y de regreso de la Luna, que consta de ocho etapas en total:
- S-IC primera etapa, 2,300,000 kg masa bruta, de 131.000 kg la masa en vacío.
- S-II segunda etapa, de 480.000 kg masa bruta, 36,000 kg la masa en vacío.
- S-IVB tercera etapa, 120,800 kg masa bruta, 10,400 kg la masa en vacío.
- Lanzamiento del sistema de escape (por suerte nunca se utiliza para su propósito), a 4,200 kg masa bruta.
- El módulo de servicio, 24,500 kg masa bruta, de 6.100 kg la masa en vacío.
- Lunar de la etapa de descenso, de 10.300 kg masa bruta, 2.100 kg la masa en vacío.
- Lunar de la etapa de ascenso, 4,547 kg masa bruta, 2,213 la masa en vacío.
- Módulo de comando, 5,560 kg masa bruta, incluyendo 120 kg de combustible.
