Localization(s) de categorías

Question

He estado tratando de leer un papel por Krause y llegó a través de un extraño (para mí, por supuesto) noción de localización. Después de mirar alrededor por un largo tiempo, y luego de encontrar esta en su sitio, veo que hay dos nociones para la localización, ambos con un uso considerable en línea. Estos son a saber Verdier localización y Bousfield localización. Hay una fuerte motivación para el uso de uno sobre el otro? Un poco de contexto:

Veo que Bousfield localización se define por categorías de modelo, y esto incluye la noción de módulos sobre un anillo, entre muchos otros. No veo una restricción similar para el Verdier localización.

Verdier la localización de los usos de la (estándar para la "localización") la idea de un conjunto multiplicativo S de mapas que son formalmente invertido por un functor Q de una categoría T a una nueva categoría denotada T/S. Hartshorne de Residuos y la Dualidad es una referencia para este. (Por CIERTO, ¿de dónde viene la suposición de que la retirada de un multiplicativo mapa es multiplicativo?)

Bousfield localización se indica en varios lugares (tales como el Krause referencia anteriormente) como un Verdier localización compuesta con un derecho adjoint para Q, que entiendo que significa un functorial forma de elección de los objetos en el isomorfismo de las clases, y los mapas en la multiplicación de los subgrupos de cada Hom(A,B). También se afirma en la generalidad de las categorías de modelo como en la necesidad de tres distinguidas colecciones de morfismos, a saber: cuasi-isomorphisms y (co)fibrations. Lo que me molesta más es la definición que se da en la Krause: una exacta functor L de un triangular categoría T a la misma para la que existe una transformación natural η:Id-->L que conmuta con L (ηL=Lη) y para que ηL es invertible. Como un segundo, más pequeño, una pregunta, ¿qué es codificada por la propiedad conmutativa de la condición (lo que estaría perdido sin ella?)? Me puede venir para arriba con artificioso ejemplos (el uso de los automorfismos de los objetos LX) por supuesto, pero en lo que de modo preciso qué η realmente sólo codificar L como una transformación natural?

Answer 1

Un punto a tener en cuenta es que la maquinaria de Bousfield localización es aplicable a contextos más amplios, como el modelo de categorías de espacios, simplicial anillos, anillo conmutativo espectros, et cetera, et cetera, y para que no se implícitamente depender de un "estable" situación como la que usted tiene en un triangular categoría.

Por ejemplo, se puede utilizar para la construcción de las racionalizaciones y p-localizaciones de nilpotent espacios (así como otros inestable localizaciones), o functorially construir "Postnikov"-tipo de descomposiciones en otras situaciones mediante la localización con respecto a los mapas, que están muy conectados.

Answer 2

El conceptual, el hogar de todos estos conceptos, se entiende mejor por darse cuenta de que cada vez que tenemos una categoría con la debilidad de las equivalencias que se ve mejor como un (o,1)-categoría: una categoría que tiene un oo-groupoid (aka Kan complejo) de morfismos entre cada par de objetos.

Ordinario de la localización de una categoría en una colección de morfismos es un geométrica de incrustación: un fiel inclusión functor que ha dejado exacta a la izquierda adjunto.

Este resumen-tonterías declaración tiene, y esa es la ventaja de resumen tonterías -- un sencillo de generalización (o,1)-categorías: la localización de un (oo,1)-categoría es sólo un fiel inclusión en lo que ha dejado exacta a la izquierda adjunto -- sólo que ahora todos estos términos se interpretan en la correspondiente categoría superior a la teoría del contexto. Por ejemplo functor adjunto, significa que ahora adjoint (oo,1)-functor y así sucesivamente.

Así que esto nos dice lo que la localización debe ser conceptualmente. Para realmente hacer algo con lo que nos suele recoger de hormigón presentaciones de estas estructuras superiores por categorías de modelo.

En virtud de esta presentación, la forma abstracta definida por la localización de (oo,1)-categorías es presentado por el Bousfield la localización de los presentados en categorías de modelo.

Answer 3

Para los nidos de las categorías de la noción de Bousfield, la localización es un "caso especial" de la noción de Verdier cociente. Como se observa (y se muestra en el Lema 3.1 del papel que usted menciona) cualquier Bousfield localización surge como la composición de un cociente functor y derecho medico adjunto del cociente functor. Uno puede ver el punto de esto como que por una tontería el derecho medico adjunto un Verdier cociente siempre es totalmente fiel y así uno puede realizar la localización mediante la adopción de un adecuado subcategoría de la categoría en la que un iniciado.

De hecho, supongamos que tenemos una totalmente fieles functor exacto de nidos categorías R -> S donde digamos (sólo para mantener todo fácil) S es compacto genera, así, en particular, tiene todos los pequeños de productos y co-productos, y R es la localización de entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes (esto funciona más en general):
i) R -> S admite un derecho adjuntos;
ii) El cociente functor S -> S/R admite un derecho adjoint

y en este caso el derecho adjoint S/R -> S identifica el Verdier cociente con la totalidad de la subcategoría R^{\asesino} de R-objetos locales. También tenemos que el derecho adjoint S -> R identifica R con la Verdier cociente S/R^{\asesino}.

Mediante la composición de estos adjunto pares se obtienen dos functors S -> S uno para cada adjoint par, que son los acyclization y la localización de los functors. Estos "proyecto" objetos de S en sus partes en R y S/R, respectivamente (en el sentido de que nuestra pareja de adjoints definir functorial triángulos para los objetos de S presentarlos como extensiones de los objetos en S/R por los objetos de R y proyectamos en el objeto correspondiente en este triángulo) y esta localización es la Bousfield localización con respecto a la clase de mapas cuyo cono se encuentra en R. Cada Bousfield localización surge en este camino que es el contenido del Lema 3.1 en el papel de Benson-Iyengar-Krause.
Las condiciones en el endofunctor L en el Lema 3.1 se reducen al hecho de que son necesarios para L a ser idempotente y surgir como la mónada asociado a la unidad de la contigüidad.

Si desea me puede dar referencias/más detalles más adelante, cuando tengo un poco más de tiempo - esencialmente el punto es que en un montón de situaciones que hemos de conseguir Bousfield localizaciones de nuestro cociente (por ejemplo, si R satisface Marrón representabilidad y es la localización, o si se trata de localizar el cociente es esencialmente pequeños y S satisface Marrón rep) y si uno utiliza la secuencia de localización (es decir, el par de adjoints) o la localización y acyclization functors es una cuestión de que es más conveniente y la decisión personal - el formalismo le dice que son equivalentes.

Answer 4

Usted menciona la idea de que formalmente la inversión de un conjunto S de mapas en una categoría C para obtener una localización C → D, que es inicial entre los functors de C que enviar los mapas de S a isomorphisms/equivalencias. Pero por lo general, usted no está solo interesado en trabajar con el viejo y simple categorías y functors, pero las categorías con algunos extra estructura o propiedades y functors que preservar estos. Esto afectará a su noción de localización. (A la izquierda) Bousfield, la localización es lo que usted consigue en el caso de categorías de modelo y a la izquierda Quillen functors, pero aún mejor es pensar presentable (∞,1)-categorías y functors que están a la izquierda adjoints (equivalentemente, conservar todos los colimits).