Cubierta para Cech cohomology de la constante gavilla $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}^n$

Question

Primero de todo, considerar la posibilidad de $\mathbb{P}^n$ como un complejo de la analítica de colector. En Griffiths y Harris Principios de la geometría Algebraica p.145 se afirma $$ H^2 (\mathbb{P}^n \bf{\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}, $$ es decir, la segunda Cech cohomology grupo de $\mathbb{P}^n$ sobre el constante gavilla $\mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Quería comprobar esto mediante la habitual algebraica de la cubierta de abrir establece: $\mathcal{U} = \{ U_i \}_{0 \le i \le n}$ donde $U_i = \{ x_i \neq 0 \}$, pero ya para $\mathbb{P}^1$ esto falla, lo que significa que $\mathcal{U}$ no es lo suficientemente fina para el cómputo de Cech cohomology.

Edit: Como René comentó en la respuesta de abajo, no es un teorema de Leray que establece que dada una gavilla $\mathcal{F}$ y una cubierta de $\mathcal{U}= \{ U_i \}$ tal que $$ H^p(U_{i_0} \cap \dotsb \cap U_{i_k}, \mathcal{F}) = 0 $$ para todas las intersecciones finitas de $\mathcal{U}$ y todos los $p$, luego $$ H^p(\mathcal{U},\mathcal{F}) \rightarrow H^p(X, \mathcal{F}) $$ es un isomorfismo para todos los $p$.

Esto todavía da lugar a las preguntas:

1. Hay una norma, o al menos conocido, cubierta de $\mathbb{P}^n$ satisfacer esta condición?
2. Hay alguna intuición sobre cómo elegir cubre?
3. ¿Hay algún otro método directo de ver el isomorfismo $H^2 (\mathbb{P}^n, \bf{\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

$\text{}$1. Hay una norma, o al menos conocido, cubierta de $\mathbb{P}^n$ satisfacer esta condición?

No una explícita como lo que yo sé.

$\text{}$2. Hay alguna intuición sobre cómo elegir cubre?

Ninguna cubierta que consta de geodesically conjuntos convexos obras.

$\text{}$3. ¿Hay algún otro método directo de ver el isomorfismo $H^2 (\mathbb{P}^n, \bf{\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{Z}$?

El enfoque más sencillo en mi opinión es el uso de la célula compleja estructura de $\mathbb{P}^n$: tiene exactamente una celda en cada dimensión $0$, $2$, $\ldots$ , $2n$. A continuación, utilice la definición de homología para CW complejos, y aplicarlo a esta celda de descomposición.

Answer 2

Espero que esta no será la única respuesta a esta pregunta, pero me gustaría que el punto de que el teorema de Leray da suficiente de las condiciones para $$H^n(\mathcal{U}, \mathcal{F})\rightarrow H^n(X,\mathcal{F})$$ to be an isomorphism for all $n$, namely that for all $$n

$$H^n(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_k},\mathcal{F})=0$$ para todos los intersección finita de abiertos conjuntos de la cubierta. Esto no es satisfecho por el open cubriendo dada en la pregunta.