Cómo es de Cauchy de la estimación de la derivada?

Question

De Cauchy de la integral fórmula dice $$ f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}. $$

Si dejamos $C$ ser la circunferencia de radio $r$, de tal manera que $|f(\zeta)|\leq M$$C$, y luego tomar las $z=a$, se obtiene de Cauchy de la estimación que $$ |f^{(n)}(a)|\leq Mn!r^{-n}. $$ Cómo es esta deriva? Veo en su lugar $$ |f^{(n)}(a)|\leq\frac{n!}{2\pi}\int_C \frac{|f(\zeta)||d\zeta|}{|\zeta-a|^{n+1}}\leq Mn!\int_C\frac{|d\zeta|}{|\zeta-a|^{n+1}} $$ pero yo no veo cómo esto con el tiempo se para de Cauchy de la estimación.

Answer 1

Por Cauchy de la integral de la fórmula que le han dado, nos han $$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-a)^{n+1}}$$ donde $C$ es un círculo de radio $r$ centrada en $a$. Por lo tanto, $C$ puede parametrizar como $\zeta=a+re^{i\theta}$, $0\leq \theta\leq 2\pi$, lo que implica $$|f^{(n)}(a)|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(a+re^{i\theta})rie^{i\theta}d\theta}{(re^{i\theta})^{n+1}}\right|\leq\frac{n!}{2\pi }\int_0^{2\pi}\left|\frac{f(a+re^{i\theta})rie^{i\theta}}{(re^{i\theta})^{n+1}}\right|d\theta$$ $$=\frac{n!}{2\pi }\int_0^{2\pi}\frac{|f(a+re^{i\theta})|}{r^n}d\theta\leq \frac{n!}{2\pi }\int_0^{2\pi}\frac{M}{r^n}d\theta=\frac{Mn!}{r^n}$$ donde la última igualdad se sigue de $|e^{i\theta}|=1$$|i|=1$, y la última desigualdad se sigue de que la suposición de que $|f|\leq M$$C$.