Oculto estructuras

Question

Hay un montón de hablar de "estructuras ocultas" en el ámbito de las matemáticas: hidden estructuras en el sistema de ZFC, oculto estructuras en el número natural del sistema, y así sucesivamente. Saunders Mac Lane conmovedoramente formulado:

Las matemáticas es una red de estructuras ocultas. [Mac Lane 1980, p. 362].

Me gustaría saber cómo esta manera de hablar se entiende concretamente:

Cómo y por qué puede una estructura oculta?

Esto puede ser comprensible para un laico?

Answer 1

Hay un montón de veces cuando un conjunto admite más de la estructura que podría tener originalmente notado. Un bonito ejemplo elemental es cuando una combinatoria o conjunto teórico-dispositivo resulta admitir una acción por parte de un grupo de $G$, lo que lo convierte en un $G$-set. Esto es lo que subraya la irrazonable eficacia de la teoría de grupos en la combinatoria. Así que una de laicos ejemplo podría ser algo tan simple como el 15-puzzle o el cubo de Rubik. O tal vez te topas con un grupo que sí admite un "oculto" de la acción de algún otro grupo, más iluminando su estructura. O tal vez su grupo abelian resulta ser un $R$-módulo para algunos ring $R$ de interés. Todos estos fenómenos han ocurrido muchas veces en el desarrollo de las matemáticas.

En una (sólo ligeramente) diferentes frente, tal vez usted encontrará que el conjunto de puntos en un geométrica de la curva admite un sorprendentemente importante en la estructura del grupo. Lo mismo para otros objetos geométricos, así como el espacio de la línea de paquetes en una variedad proyectiva. O tal vez un espacio topológico (o un grupo) reconoce la estructura de una Mentira grupo. O tal vez un espacio de la parametrización de la interesante colección de objetos resulta ser en realidad un fino espacio de moduli de tales objetos.

La lista sigue y sigue. De hecho, creo que sería una postura razonable (entre muchos otros válido tales posturas) que la búsqueda de estructuras ocultas es el proceso de hacer matemáticas.