Encontrar $\int_0^{+\infty}\cos 2x\prod_{n=1}^{\infty}\cos\frac{x}{n}dx$

Question

Evaluar la siguiente integral

$$\int_0^{+\infty}\cos 2x\prod_{n=1}^{\infty}\cos\frac{x}{n}dx$$

Yo estaba pensando en una manera que no necesitan explícitamente encontrar la forma cerrada de la infinita producto, ya que no tengo ninguna idea para hacer frente a esa. Todas las sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

La integral $$g(y)={1\over \pi}\int_0^\infty \cos(xy)\prod_{n=1}^\infty\cos{x\over n}\,dx$$ es la función de densidad de una variable aleatoria que me llame al Azar Serie Armónica. El valor de $g(2)$ es particularmente interesante, ya que es casi, pero no del todo igual, $1/8$.

A cincuenta decimales, es $$g(2)=.12499999999999999999999999999999999999999976421683.$$ Si usted lee mi artículo, usted descubrirá por qué es tan cerca de la $1/8$.

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Al azar de la serie armónica. American Mathematical Monthly 110, 407-416 (Mayo De 2003).

Answer 2

Bien, la primera cosa que viene a la mente es evaluar $$\prod_{i=0}^\infty \cos\frac{x}{2^i}.$$ Note that if you go to $k,$ instead of $\infty,$ the standard trick of multiplying the product by $\sin \frac{x}{2^k}$ da

$$\prod_{i=0}^k \cos\frac{x}{2^i} = \frac1{2^k}\frac{\sin 2 x}{\sin \frac{x}{2^k}}.$$ Tomando el límite cuando $k$ va al infinito, le da

$$\prod_{i=0}^\infty \cos\frac{x}{2^i} = \frac{\sin{2 x}}{x}.$$ Esto indica que la totalidad del producto (sobre todos los enteros) es igual a $$\prod_{\mbox{odd integers}} \frac{\sin (2x/n)}{x/n}.$$

En este punto debo admitir que para ser atrapado, pero estoy seguro de Kent Morrison documento citado por el OP arroja luz sobre esto.