Estoy totalmente en desacuerdo con la afirmación de que la intuición y el rigor son mutuamente excluyentes. Tal vez un poco inexacta, se puede decir que cada teoría matemática es el objetivo del modelo de algo. Cálculo de los modelos (aspectos) de la continuidad y la diferenciabilidad, grupo de modelos de la teoría de la simetría, la teoría de los modelos discretos de las colecciones, de la categoría de modelos de la teoría de analogías etc. (por favor, no tomar esto literalmente, sé que no es gran imprecisión en las presentes estipulaciones).
La distinción entre intuición y rigor, para mí, es la diferencia entre el trabajo en el nivel de lo que está siendo modelado vs trabajar con el modelo. La mayoría de los matemáticos, probablemente, hacer uso de ambos intuitiva, así como los argumentos rigurosos casi todo el tiempo.
Aquí están algunos ejemplos. En el Cálculo, demuestra que el límite de una secuencia, si existe, es único. Esta es una intuitiva resultado y se puede explicar diciendo que "si los elementos en la secuencia de estar muy cerca de el valor de $L$ y el valor de $M$ (claramente) $M=L$, por lo que el límite es único". El uso de la $\epsilon -\delta$ definición de límite de esta reclamación ser probada rigurosamente. La intuición y la prueba no son exclusivos. La explicación intuitiva no carece de rigor. No es una prueba, ya que no está tratando de ser una prueba, pero no contienen la esencia de el resultado.
Considere la declaración "si el límite de una secuencia es $0$, luego de algunas índice a partir de todos los elementos de la secuencia son infinitesimalmente cerca de $0$". Esta es una afirmación falsa, por supuesto, pero se puede dar un argumento intuitivo para hacer que suene plausible: "ya que los elementos en la secuencia de acercarnos más y más a $0$, $\infty$ los elementos serán tan cerca como nos gusta a $0$." Este argumento no puede ser convertido en un riguroso argumento usando el estándar de Cauchy noción de límite y el número real del sistema. Sin embargo, el uso no estándar de los modelos de análisis de esta realidad es una declaración verdadera.
Así, cuando se trata de un modelo de un fenómeno (por ejemplo, la convergencia), se puede formalizar la noción de diferentes maneras, por lo tanto la obtención de los diferentes modelos para el fenómeno. A continuación, algunas cosas que son intuitivamente cierto acerca de que el fenómeno puede ser verdad o no declaración en el modelo. La interacción entre el fenómeno (la intuición) y el modelo (rigor) comprende mucho de qué es la matemática.
Es la costumbre de retratar a las matemáticas como si es el arte de la deducción nuevos resultados de edad, en una axiomática de la moda. Pero, ¿qué acerca de la elección de los axiomas? afinando existente axiomas? ¿Por qué no acaba de despertar una mañana, elegir unos cuantos axiomas, y explorar las consecuencias de los axiomas? Bien, puesto que carece de sentido. Carece de la intuición. Así que, de hecho, me encuentro a mí mismo en la parte opuesta a la afirmación de que la intuición carece de rigor. Más bien, el rigor sin intuición carece de sentido. Mientras que muy a menudo los matemáticos informe de sus resultados de forma muy rigurosa, la intuición es siempre allí.
