Protección de la masa del electrón por simetría quiral

Question

En muchos libros de texto se dice que la renormalización de la masa del electrón es sólo logarítmica $\delta m \sim m\, log(\Lambda/m)$ porque está protegido por la simetría quiral. Entiendo que en el caso de fermiones sin masa para mantenerlos sin masa en el procedimiento de renormalización debe ser así. O dicho de otra manera, el procedimiento de renormalización respeta la conservación de la corriente axial.

Pero, ¿existe alguna razón obligatoria para que el procedimiento de renormalización respete la conversación de la corriente axial? ¿Todos los procedimientos de renormalización la respetan? Aparentemente Pauli-Villars y la renormalización dimensional lo hacen, ¿pero qué pasa con otros procedimientos? También sé que en los diagramas triangulares de Feynman se producen anomalías que sí rompen la conversación de la corriente axial. Entonces, ¿por qué no puede ocurrir para algo más simple como la masa del electrón o la autoenergía?

Answer 1

Por lo que he entendido del tema, el hecho de que la corrección de la masa vaya con el logaritmo no es la cuestión. La cuestión es que es proporcional a la masa del propio electrón (El logaritmo entra en este argumento por el hecho de que no explota tan rápido como por ejemplo la divergencia cuadrática). Sabrás que la simetría quiral es exacta para $m=0$ y, en cualquier esquema de renormalización, todas las correcciones a $m=0$ también será cero (al igual que el fotón no adquiere masa).

Ahora introduzca un pequeño término de masa, trátelo como una perturbación que rompe suavemente la simetría quiral anteriormente exacta. "Naturalidad técnica" es el término que estás buscando: afirma que las correcciones cuánticas de este parámetro sólo pueden ser del orden de magnitud del propio término de ruptura de la simetría. Esto también es válido para bosones gauge masivos, cuyo término de masa rompe explícitamente la invariancia gauge, y cuya masa se mantiene pequeña debido a la simetría gauge suavemente rota: como ves, esto no es una ambigüedad de la simetría quiral.

También podría añadir que la masa del bosón de Higgs no está protegida por ninguna simetría "custodial" y, por tanto, divergiría cuadráticamente con alguna escala de corte. Esta es una de las razones para introducir la supersimetría.

Answer 2

Las únicas escalas de masa son la masa del electrón $m_e$ y, si consideramos otro tipo de interacciones de un fermión (aquí el electrón) con un bosón vectorial gauge masivo (ej : $Z$ para la interacción débil), o un escalar masivo ( electrodinámica escalar), tendrías esta masa de bosón $m_B$ también.

Sin embargo, al ser exacta la simetría quiral para $m_e=0$ sabemos que las correcciones cuánticas $\delta m$ de la masa del electrón, cuando $m_e \to 0$ irá hacia cero.

Si las correcciones cuánticas $\delta m$ eran (en el límite en que $m_e \to 0$ ) proporcional a $m_B$ contradiría el límite cero anterior, por lo que la única posibilidad es que $\delta m$ es proporcional a $m_e$ (siempre en el límite donde $m_e \to 0$ ).