Número de soluciones a los polinomios en campos finitos

Question

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo finito y $f_i\in\mathbb{F}[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ ser polinomios de grado $d_i$, donde $1\leq i\leq r$, de tal manera que $f_i(0,\ldots,0) = 0$ todos los $i$. Mostrar que si $n>\sum_{i=1}^r d_i$, entonces no existe solución distinto de cero para el sistema de ecuaciones: $f_i = 0$ todos los $1\leq i \leq r$.

Sugerencia: Deje $q = \left|\mathbb{F}\right|$$p = \operatorname{char}\mathbb{F}$. El número de soluciones integrales es congruente a la siguiente número de modulo $p$ $$\sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i(x)^{q-1}).$$

De hecho, $x$ es una solución del sistema de ecuaciones si y sólo si $\prod_{i=1}^r(1-f_i(x)^{q-1}) = 1$ porque si $0 = a\in\mathbb{F}$,$a^{q-1} = 0$; si $0\neq a\in\mathbb{F}$,$a^{q-1} = 1$. Además, la característica de $\mathbb{F}$$p$. Por lo tanto, la sugerencia es probado. Pero no puedo ver cómo manipular el valor de $\sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i(x)^{q-1})$.

Desde la geometría algebraica estudia el común de los ceros de $S$, un subconjunto de a $k[x_1,\ldots, x_n]$ donde $k$ es un campo, me clasificar a esta pregunta en la geometría algebraica.

Gracias.

Answer 1

Este resultado es conocido como el Chevalley–Advertencia teorema.

En primer lugar, demostrar que para $i\geq 0$, $$ \sum_{x\in\mathbb{F}}x^i = \begin{cases}-1 &\text{ if } (q-1)\mid i \text{ and } i > 0\\ 0 & \text{otherwise} \end{casos}. $$ El caso de $i=0$ es trivial. Al $i>0$, el único caso difícil es al $(q-1)\not\mid i$. Como $\mathbb{F}^*$ es un grupo cíclico de orden $q-1$ existe $y\in\mathbb{F}^*$ tal que $y^i \neq 1$. Entonces $$ \sum_{x\in\mathbb{F}}x^i = \sum_{x\in\mathbb{F}^*}x^i = \sum_{x\in\mathbb{F}^*}(yx)^i = y^i\sum_{x\in\mathbb{F}^*}x^i = y^i\sum_{x\in\mathbb{F}}x^i $$ y $(y^i-1)\sum_{x\in\mathbb{F}}x^i = 0$. Como $y^i\neq1$, $\sum_{x\in\mathbb{F}}x^i = 0$.

Esto implica que para cualquier polinomio $P\in\mathbb{F}[X_1,\ldots,X_n]$ grado $d<n(q-1)$, usted tiene $$ \sum_{x\in \mathbb{F}^n}P(x_1,\ldots,x_n) = 0. $$ De hecho, basta, por linealidad, para comprobar el resultado para cada monomio de la forma$X_1^{i_1}\ldots X_n^{i_n}$$i_1+\ldots+i_n < n(q-1)$. Existe una $j$ tal que $i_j<(q-1)$ e esta forma, es fácil concluir con el resultado anterior.

Ahora, volviendo a tu problema. La hipótesis de los grados de la $f_i$'s dan exactamente que el grado de $\prod_{i=1}^r(1-f_i^{q-1})$$\sum_{i=1}^r d_i(q-1) < n(q-1)$, de modo que $$ \sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i^{p-1}(x)) = 0. $$ Se dio cuenta de que $$ \mathrm{Tarjeta}(\{x\in\mathbb{F}^n\mediados de f_i(x) = 0 \text{ para todo }i\}) \equiv \sum_{x\in\mathbb{F}^n}\prod_{i=1}^r(1-f_i^{p-1}(x)) \equiv 0 \pmod p. $$ Pero, por hipótesis de $(0,\ldots,0)\in\{x\in\mathbb{F}^n\mid f_i(x) = 0 \text{ for all }i\}$ lo que demuestra la existencia de una solución distinto de cero (y hasta p-1 distinto de cero soluciones!).