¿Razón profunda por qué infinita hoja significa logaritmo mientras que hoja finita significa polinomio?

Question

Cuando la lectura de las "Conferencias sobre las Superficies de Riemann" por Otto Forster en la página 37, afirmó que

Supongamos $X$ es una superficie de Riemann y $f:X\to D^{*}$( $D^*$ es el perforado de la unidad de disco $\{z\in\mathbb{C}:0<|z|<1\}$) no ramificados holomorphic cubriendo mapa. Entonces uno de los siguientes sostiene:

(i) Si la cubierta tiene un número infinito de hojas, entonces existe un biholomorphic asignación de $\varphi:X\to H$ $X$ sobre la mitad izquierda del plano tal que el siguiente diagrama conmuta $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} X @>{\varphi}>> H\\ @V{f}VV @VV{\exp}V \\ D^* @>{id}>> D^* \end{CD} $$ (ii) Si la tapicería es $k$-toldo( $k<\infty$), entonces existe un biholomorphic asignación de $\varphi:X\to D^*$ tal que el siguiente diagrama conmuta, donde $p_k:D^*\to D^*$ es el mapeo $z\to z^k$ . $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} X @>{\varphi}>> D^*\\ @V{f}VV @VV{p_k}V \\ D^* @>{id}>> D^* \end{CD} $$

Mi pregunta es, ¿hay explicaciones profundas de este teorema? Por qué $D^*$ tiene una buena propiedad que infinito y lo finito de la hoja puede ser convertido en algo de la función nos son familiares? Puede otra superficie de Riemann otros de $D^*$ tienen la propiedad similar? Gracias por su ayuda!

Answer 1

El universal que cubre el espacio del disco perforado $D^*$ en la categoría de superficies de Riemann es el plano de la mitad superior, con el mapa exponencial $H\to D^*$. El % de revestimiento $X \to D^*$se clasifican por los subgrupos de $\pi_1(D^*) = \mathbf Z$. La cubierta correspondiente a $(0)$ completo cubre espacio $H \to D^*$ con el mapa exponencial, mientras que las otras coberturas son $D^* \xrightarrow{z^k} D^*$. Estos, en conjunto, representan para todos los subgrupos de $\mathbf Z$, por lo que todo el revestimiento de $D^*$ debe estar en cualquier categoría.