Perspectiva Homotopical en la secuencia de tiempo exacta en homología y Mayer-Vietoris

Question

Durante un tiempo me he estado preguntando si el largo de la secuencia exacta en la homología y la de Mayer-Vietoris secuencia puede ser formulada en homotopical términos. Recientemente, me enteré de que ambos pueden ser reinterpretados a través de homotopy pullbacks/pushouts.

Estoy buscando una referencia que se desarrolla este punto de vista, o al menos lo menciona en detalle. No he estudiado lo suficiente topología algebraica para llenar los espacios en blanco a mí mismo, ni he trabajado bastante con homotopy (co)límites para sentirse cómodo con ellos.

He visto un par de MSE respuestas que meter lo que estoy buscando, pero no puedo completar la imagen de mí mismo.

Answer 1

Deje $f : A \to X$ ser un mapa de base de los espacios. El homotopy pushout $X \coprod_A \text{pt}$ se llama la homotopy cofiber, cofiber, o la asignación de cono de $f$; voy a denotar por $X/A$. La iteración de esta construcción produce la cofiber la secuencia o la secuencia de Puppe

$$A \to X \to X/A \to \Sigma A \to \Sigma X \to \Sigma X/A \to \dots$$

que es, en cierto sentido, el antepasado de todos los tiempo exacto de secuencias para la relación de homología y cohomology, aunque es más sencillo en este punto se describe cómo obtener el largo de la secuencia exacta para la relación cohomology. Si $Z$ es otro basado en el espacio, luego de tomar los espacios de mapas en $Z$ convierte la cofiber secuencia en una secuencia de fibra

$$[A, Z] \leftarrow [X, Z] \leftarrow [X/A, Z] \leftarrow [A, \Omega Z] \leftarrow [X, \Omega Z] \leftarrow [X/A, \Omega Z] \leftarrow \dots$$

la cual está construida de tomar homotopy pullbacks de la misma manera que el cofiber secuencia, está construido de tomar homotopy pushouts. Si $Z$ es un Eilenberg-MacLane espacio de $B^n G = K(G, n)$, teniendo en $\pi_0$ de esta fibra secuencia produce la larga secuencia exacta en la relación (reducida) cohomology hasta grado $n$, y teniendo en $n \to \infty$ y juntando los resultados te da toda la cosa.

Esto se discute un poco en Mayo del Concisa Curso de Topología Algebraica y mucho en Strom del Clásico y Moderno Homotopy Teoría.

Answer 2

No estoy seguro de si esto exactamente lo que quieres, pero un homotopical perspectiva en la homología es dado en el libro parcialmente titulado Nonabelian Topología Algebraica, EMS Tractos, vol. 15 (2011) (archivo pdf). Los principales resultados de no asumir la homología singular, pero, no obstante, dar resultados, tales como la Relativa Hurewicz Teorema, (!), y los resultados en la segunda relativa homotopy grupos no disponible por los métodos tradicionales, ya que estos grupos son generalmente no abelian. El libro tiene comentarios sobre la historia y las intuiciones.

Un problema importante con homotopy teoría es que para los espacios, las identificaciones en las dimensiones bajas han homotopical implicaciones en altas dimensiones. El modelo de esta forma algebraica, uno busca algebraica de objetos con estructura en una serie de dimensiones. Estos, por supuesto, pueden ser complicados, y a obtener, a continuación, tenemos que pasar de los espacios a los espacios con la estructura, tales como el filtrado de los espacios, como en este libro; pero que no permiten las herramientas que refleja en cierta medida la homotopy de pushouts de los espacios de la estructura.

Para una introducción sobre el telón de fondo de estas ideas, véase este Dec 2014 presentación.