Operadores de espín en QM

Question

En un texto (Introducción a la Mecánica Cuántica de Griffiths) que estoy utilizando se afirma sin motivación que el momento angular de espín tiene las mismas relaciones de conmutación que el momento angular orbital (estas relaciones con los operadores escalera se utilizaron para encontrar las ecuaciones de valores propios del momento angular orbital) Estas son las relaciones de conmutación del momento angular de espín: $$[\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i \hbar \hat{S}_z,~[\hat{S}_y, \hat{S}_z] = i \hbar \hat{S}_x, ~ [\hat{S}_z, \hat{S}_x] = i \hbar \hat{S}_y$$ se deduce entonces que el momento angular de espín tiene las mismas ecuaciones de valores propios que el momento angular orbital: $$\hat{S}^2 |s m \rangle = \hbar^2 s (s+1)|s m \rangle;~~~\hat{S}_z |s m \rangle = \hbar m |s m \rangle;$$

Más adelante en el texto consideramos un sistema de dos partículas de dos espín- $\frac{1}{2}$ por ejemplo, el electrón y el protón de un átomo de hidrógeno en estado fundamental, donde definimos el operador de espín como $$\hat{S} := \hat{S}^{(1)} + \hat{S}^{(2)}.$$ A continuación, afirma que para confirmar los vectores propios pertenecientes a este operador, tenemos que asegurarnos de que se satisfacen las ecuaciones de valores propios anteriores. Sólo quiero saber si las relaciones de conmutación son válidas para cualquier operador de espín, incluso para sistemas multipartícula, y si es por eso por lo que surgen las mismas ecuaciones de valores propios. Si esto es cierto, entonces también deberíamos ser capaces de aplicar el operador escalera en cada caso más o menos de la misma manera que el momento angular orbital para derivar los vectores propios de un determinado operador de espín?

Answer 1

Matemáticamente, los operadores de momento angular orbital y los operadores de momento angular de espín son en realidad dos caras de la misma moneda. En lenguaje de teoría de grupos, decimos que estos operadores surgen de dos representaciones diferentes del grupo de rotación $SO(3)$ (para ser precisos, en mecánica cuántica nos interesa representaciones proyectivas porque físicamente, dos vectores que difieren en una fase son indistinguibles. Esto requiere una representación de la doble cobertura de $SO(3)$ que es $SU(2)$ ). El grupo codifica información sobre las simetrías del sistema y una representación del grupo en un espacio concreto nos da una forma de realizar estas simetrías como operadores en nuestro espacio de estados.

La diferencia entre los operadores de espín y los operadores de momento angular estriba en el tipo de espacio vectorial sobre el que operan. Sin embargo, el grupo tiene una cierta estructura asociada que se transmite a través de sus representaciones (Esto está relacionado con la estructura de la Lie-algebra de $SO(3)$ , $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$ que puedo explicar más adelante si lo desea). Por lo tanto, cualquier representación del grupo $SO(3)$ tendrán las mismas relaciones de conmutación. Esto incluye las extensiones a estados de partículas múltiples. Si denotamos el espacio de Hilbert de una sola partícula como $\mathcal{H}_1$ y el espacio de un segundo como $\mathcal{H}_2$ entonces el espacio total que describe las dos partículas juntas se denota $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ . Esto no es más que un nuevo espacio vectorial que podemos representar $SO(3)$ ¡Adelante!

Así, cuando queremos hablar del espín de un sistema de dos partículas, sólo estamos hablando de una representación diferente de $SO(3)$ . Existen algunas sutilezas en este procedimiento debido a que la representación en el espacio $\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ no es irreducible . Sin embargo, la descomposición de Clebsh-Gordon nos da una forma de descomponer esta representación en una suma de representaciones reducibles. Este procedimiento da los coeficientes de Clebsch-Gordon que surgen al hablar de sistemas de partículas múltiples.

Answer 2

Acoplamiento de dos sistemas cuánticos no interactivos $\:\alpha,\beta\:$ con momentos angulares $\:j_{\alpha},j_{\beta}\:$ (no importa si es orbital o de espín) llegamos a la siguiente ecuación para el momento angular $\:j\:$ del sistema compuesto $\:f\:$

\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}=\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\right) \tag{A-01} \end{equation} que, para el $\:\mathbf{n}\:$ -para ser más claros, puede expresarse como

\begin{equation} \mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}=\Bigl[\bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \bigr) \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}+ \mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \bigl(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \bigr)\Bigr] \tag{A-02} \end{equation} En las ecuaciones anteriores el símbolo $''\boldsymbol{\otimes}''$ se utiliza para el producto de vectores de estado, espacios u operadores. El vector $\:\mathbf{n}=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \:$ es de norma unitaria. Los operadores $\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}},\, J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\:$ actuar sobre la $(2j_{\alpha}+1)$ -espacio de Hilbert $\: \mathsf{H}_{\alpha}\:$ del sistema $\:\alpha\:$ y en igualdad de condiciones los operadores $\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}},\,\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\:$ actuar sobre la $(2j_{\beta}+1)$ -espacio de Hilbert $\: \mathsf{H}_{\beta}\:$ del sistema $\:\beta\:$ el símbolo $\:\mathbb{I}\:$ que se utiliza para la identidad. Por último, los operadores $\:\mathbf{J},\, J_{\boldsymbol{n}}\:$ actuar sobre la $(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$ -espacio de Hilbert $\: \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta}\:$ del sistema compuesto $\:f\:$ .

Escribimos la ecuación (A-02) para los tres ejes de un sistema de coordenadas \begin{align} J_{\boldsymbol{1}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\right) \tag{A-03a}\\ J_{\boldsymbol{2}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\right) \tag{A-03b}\\ J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{align} Estas tres ecuaciones componentes pueden expresarse simbólicamente en una ecuación vectorial \begin{equation} \mathbf{J}=\bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\bigr)+\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\otimes} \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}} \right) \tag{A-04} \end{equation} Ahora debemos comprobar si esta cantidad así construida $\:\mathbf{J}=\left({J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}\right) \:$ del sistema compuesto es un momento angular consistente y el criterio para ello es la validación de la ecuación \begin{equation} \mathbf{J}\boldsymbol{\times}\mathbf{J}= i \, \mathbf{J} \tag{A-05} \end{equation} o por componentes \begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}}= i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-06a}\\ J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{3}}-J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{2}}= i \, J_{\boldsymbol{1}} \tag{A-06b}\\ J_{\boldsymbol{3}}J_{\boldsymbol{1}}-J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{3}}= i \, J_{\boldsymbol{2}} \tag{A-06c} \end{align} Para demostrar las ecuaciones (A-06), busquemos una expresión general para $\:J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}\:$ donde $\:J_{\boldsymbol{n}},\,J_{\boldsymbol{k}}\:$ los componentes de $\:\mathbf{J}\:$ paralelas a los vectores unitarios $\:\mathbf{n}\:$ et $\:\mathbf{k}\:$ respectivamente. A partir de la ecuación (A-01) y la siguiente regla de multiplicación \begin{equation} \left(\mathrm{A}_{2} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{2}\right)\left(\mathrm{A}_{1} \boldsymbol{\otimes} \mathrm{B}_{1}\right)= \left( \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{1}\right) \boldsymbol{\otimes} \left( \mathrm{B}_{2}\mathrm{B}_{1}\right) \tag{A-07} \end{equation} tenemos \begin{align} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} & = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \left[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right)\right] \nonumber\\ & =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) \nonumber\\ & + \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)\left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\right) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr) \tag{A-08} \end{align} así que \begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) \tag{A-09} \end{equation} Permutación de $\:n\:$ et $\:k\:$ produce \begin{equation} J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}} = \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr) +\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}\Bigr) \tag{A-10} \end{equation} Restando (A-10) de (A-09)

\begin{equation} J_{\boldsymbol{n}}J_{\boldsymbol{k}}-J_{\boldsymbol{k}}J_{\boldsymbol{n}}= \Bigl[\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{k}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{n}}\Bigr)\Bigr] \tag{A-11} \end{equation} Para $\:n=1\:$ et $\:k=2\:$ la ecuación anterior (A-11) da \begin{align} J_{\boldsymbol{1}}J_{\boldsymbol{2}}-J_{\boldsymbol{2}}J_{\boldsymbol{1}} & = \Bigl[\overbrace{\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}-J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}} }\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes} \overbrace{\Bigl(J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}- J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr)}^{i \,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}}\Bigr] \nonumber\\ & = \Bigl[\Bigl(i \,J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr] +\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\Bigl(i\,J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i\,\Bigl[\Bigl(J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigr) +\Bigl(\mathbb{I}_{\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr)\Bigr] \nonumber\\ & = i \, J_{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{align} demostrando así (A-06a). Por permutación cíclica se demuestran también (A-06b) y (A-06c).

Para el tratamiento del momento angular hacemos uso de la ecuación (A-03c), repetida aquí por conveniencia: \begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right) \tag{A-03c} \end{equation} Esta relación tiene la ventaja de que si las matrices que representan los componentes $\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$ et $\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$ de los sistemas componentes son diagonales, entonces la matriz que representa el componente $\:J_{\boldsymbol{3}}\:$ del sistema compuesto también es diagonal (1) . Pero para el tratamiento completo del momento angular necesitamos la matriz que representa la cantidad $\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}=J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{1}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{2}}+J^{\boldsymbol{2}}_{\boldsymbol{3}}\:$ también. Encontraremos una expresión de $\:\mathbf{J}^{\boldsymbol{2}}\:$ conveniente para la determinación de su matriz, que no es desde el principio diagonal como $\:J_{\boldsymbol{3}}\:$ hace. Así, insertando en la ecuación (A-09) el par de valores $\:(n,k)=(1,1)\:$ , $\:(n,k)=(2,2)\:$ et $\:(n,k)=(3,3)\:$ tenemos respectivamente

\begin{align} J_{\boldsymbol{1}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\Bigr) \tag{A-13a}\\ J_{\boldsymbol{2}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\Bigr) \tag{A-13b}\\ J_{\boldsymbol{3}}^{\boldsymbol{2}} = \Bigl[\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr]+\Bigl[\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}}\boldsymbol{\otimes}\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}\Bigr] +2\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\Bigr) \tag{A-13c} \end{align} Teniendo en cuenta que \begin{align} \bigl(\mathbf{J}^{\boldsymbol{\alpha}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} & =\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)\mathbb{I}_{\alpha} \tag{A-14}\\ \bigl( \mathbf{J}^{\boldsymbol{\beta}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} &=\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{1}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} +\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{2}}\bigr)^{\boldsymbol{2}}+\bigl( J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\bigr)^{\boldsymbol{2}} = j_{\beta}(j_{\beta}+1) \mathbb{I}_{\beta} \tag{A-15}\\ \mathbb{I}_{\alpha} \boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\beta} & \equiv \mathbb{I}_{f}=\text{identity in } \mathsf{H}_{f}=\mathsf{H}_{\alpha}\boldsymbol{\otimes}\mathsf{H}_{\beta} \tag{A-16} \end{align} la suma de las ecuaciones (A-13) da como resultado \begin{equation} \mathbf{J}^{\boldsymbol{2}} =\bigl[ j_{\alpha}(j_{\alpha}+1)+ j_{\beta}(j_{\beta}+1) \bigr] \mathbb{I}_{f} +2\sum_{q=1}^{q=3}\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{q}}\boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{q}}\Bigr) \tag{A-17} \end{equation}

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(1) Más precisamente : a partir de la definición del producto de operadores y dado que $\:J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\:$ está representado por el $(2j_{\alpha}+1)$ -matriz cuadrada \begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\alpha} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\alpha} \end{bmatrix} \tag{foot-01} \end{equation} et $\:J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\:$ está representado por el $(2j_{\beta}+1)$ -matriz cuadrada \begin{equation} J^{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & m_{\beta} & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -j_{\beta} \end{bmatrix} \tag{foot-02} \end{equation} la ecuación (A-03c) da que $\:J_{\boldsymbol{3}}\:$ se representa de la siguiente manera $(2j_{\alpha}+1)\cdot (2j_{\beta}+1)$ -matriz diagonal cuadrada \begin{equation} J_{\boldsymbol{3}}=\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \nonumber\\ \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \begin{matrix} j_{\alpha}+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha} -j_{\beta} \end{matrix} & & & \\ & \begin{matrix} j_{\alpha}-1+ j_{\beta} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & j_{\alpha}-1+ j_{\beta}-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & j_{\alpha}-1-j_{\beta} \end{matrix} & & \\ & & puntos & & & & & -j_{{alfa}-j_{beta} \Fin. \Fin. \begin{equation} \tag{foot-03} \end{equation} Ejemplo : para $\:j_{\alpha}=\tfrac{1}{2}\:$ et $\:j_{\beta}=1\:$ \begin{equation} J^{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}&0\\ &\\ 0&-\frac{1}{2} \end{array} \fin \:,\qquad J^{\\\beta}_{3} = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} +1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{array} \fin \tag{foot-04} \nd{equation}
así que \begin{equation} \Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} +\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\\ &\\ 0\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}&-\frac{1}{2}\cdot\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}} \end{array} \fin = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{1}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&+\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \fin \tag{foot-05} \nd{equation} \begin{equation} \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} 1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\\ &\\ 0\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}&1\cdot J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}} \end{array} \fin = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&+1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&-1 \end{array} \fin \tag{pie-06} \nd{equation} Sumando (pie-05), (pie-06) tenemos \begin{equation} J_{\boldsymbol{3}} =\Bigl( J^{\boldsymbol{\alpha}}_{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{I}_{\boldsymbol {\beta}}\Bigr)+ \left(\mathbb{I}_{\boldsymbol {\alpha}} \boldsymbol{\otimes}J^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{3}}\right)= \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&+\frac{1}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&-\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{3}{2} \end{array} \fin \tag{foot-07} \nd{equation}
que tras la reordenación de filas y columnas se convierte en \begin{equation} \widehat{J}_{\boldsymbol{3}} = \begin{bmatrix} \begin{array}{cccccc} +\frac{3}{2}&0&0&0&0&0\\ 0&+\frac{1}{2}&0&0&0&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{3}{2}&0&0\\ 0&0&0&0&+\frac{1}{2}&0\\ 0&0&0&0&0&-\frac{1}{2} \end{array} \fin \tag{foot-08} \nd{equation} reconocido posteriormente como la suma directa de $\:j_{1}=\tfrac{1}{2}\:$ et $\:j_{2}=\tfrac{3}{2}\:$ \begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{2}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{4} \tag{foot-09} \end{equation} un caso especial de la expresión más general del espacio producto como suma directa de subespacios mutuamente ortogonales e invariantes bajo SU(2) \begin{equation} (2j_{\alpha}+1)\boldsymbol{\otimes}(2j_{\beta}+1)=\bigoplus_{j=\vert j_{\beta}-j_{\alpha} \vert }^{j=\left(j_{\alpha}+j_{\beta}\right)}(2j+1) \tag{foot-10} \end{equation}

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Para un tratamiento más detallado, consulte mis respuestas aquí : Espín total de dos partículas de espín-1/2 .

Answer 3

Tanto el momento angular orbital como el espín están relacionados con rotaciones en tres dimensiones . Sus relaciones de conmutación pueden derivarse únicamente de las propiedades del grupo de rotaciones, por lo que deberían ser iguales.

El grupo de rotaciones del espacio tridimensional se conoce como $SO(3)$ . Los estados cuánticos son vectores en un espacio $V$ sobre el que este grupo tiene una representación (proyectiva). Esto significa que para cada rotación $R$ hay un $n\times n$ matriz $U(R)$ ( $n$ es la dimensión de $V$ ) de modo que cada estado cuántico $\left|\psi\right>$ cambios en $U(R)\left|\psi\right>$ cuando el sistema gira $R$ .

Quizá sepas que una rotación en dos dimensiones (el plano complejo) viene dada por la multiplicación por $e^{-i\theta}$ donde $\theta$ es el único parámetro que caracteriza una rotación del espacio bidimensional: el ángulo de la rotación. En tres dimensiones, una rotación puede parametrizarse mediante el ángulo $\theta$ y un vector unitario $\hat{u}$ que indica el eje de rotación. Esto equivale simplemente a un vector $\vec{u}=\theta\hat{u}$ . Procediendo del mismo modo que en dos dimensiones, una rotación puede escribirse como \begin{equation} U(\vec{u})=e^{-i\vec{u}\cdot \vec{J}} \end{equation} donde ahora necesitamos tres objetos $J_x$ , $J_y$ et $J_z$ (los componentes de $\vec{J}$ ), uno para multiplicar cada componente de $\vec{u}$ . Deben ser $n\times n$ matrices, para hacer $U(R)$ sea también una matriz de este tipo (la exponencial de las matrices puede definirse por su serie de potencias).

Obsérvese que el derivada de una rotación de un vector 3d es ortogonal al eje de rotación y al propio vector y es proporcional al vector, por lo que debe ser $\hat{u}\times \vec{v}$ . Se puede imaginar $\vec{v}$ como punto de una esfera de radio $|\vec{v}|$ y $\hat{u}\times \vec{v}$ como una flecha que parte de ese punto y apunta en la dirección hacia la que se desplaza cuando se gira.

Por otra parte $\frac{d}{d\theta}U(\theta\hat{u})= -i\hat{u}\cdot\vec{J}$ por lo que, escribiendo los vectores de la representación tridimensional como $\vec{v}$ en lugar de $\left|\psi\right>$ tenemos la ecuación $\hat{u}\times \vec{v}=(-i\hat{u}\cdot\vec{J})v$ . Ahora queremos calcular el conmutador $[J_x,J_y]$ : \begin{align} [J_x,J_y]\vec{v}=J_xJ_y\vec{v}-J_yJ_x\vec{v}= -\hat{x}\times(\hat{y}\times\vec{v}) + \hat{y}\times(\hat{x}\times\vec{v}) = -(\hat{x}\times\hat{y})\times\vec{v} = -\hat{z}\times\vec{v} = iJ_z\vec{v} \end{align} donde he utilizado las propiedades del triple producto cruzado. Acabamos de derivar una de las relaciones de conmutación: $[J_x,J_y]=iJ_z$ . Los demás siguen el mismo camino.

Los operadores de espín $S_x$ , $S_y$ , $S_z$ y los operadores de momento angular orbital $L_x$ , $L_y$ , $L_z$ no son más que los generadores $J_x$ , $J_y$ , $J_z$ de rotaciones tridimensionales.

La única diferencia entre ellos es que el nombre spin (y la notación $S_i$ ) se refiere a las representaciones bajo $SO(3)$ para los estados de una sola partícula sin movimiento en el espacio, las rotaciones "internas", mientras que el nombre momento angular orbital (y los símbolos $L_i$ ) se utiliza habitualmente para las representaciones bajo $SO(3)$ de estados de sistemas que tienen alguna extensión o algún movimiento en el espacio.

En combinación de representaciones de rotaciones es de nuevo una representación de rotaciones, por lo que seguirá teniendo los mismos generadores con las mismas relaciones de conmutación. Esto es válido para cualquier combinación, como los espines combinados del electrón y el protón, la combinación del momento angular orbital y el espín de una partícula o los momentos angulares de sistemas multipartícula.

Tienes razón sobre las derivaciones con operadores de escalera. Puedes usar la aproximación que conoces en todos los casos, porque se deriva de las relaciones de conmutación.

Answer 4

Los operadores de espín tienen las mismas relaciones de conmutación que los operadores de momento angular. La razón exacta es un poco sutil. Las nociones de espín y momento angular están relacionadas con las propiedades bajo rotaciones de las funciones de onda. De hecho, los operadores de momento angular pueden definirse como los generadores de las rotaciones.

Las rotaciones en el espacio tridimensional forman el $SO(3)$ grupo. Para poder hablar de rotaciones de un estado cuántico, necesitamos poder actuar con $SO(3)$ de tal forma que se mantenga la estructura de grupo (un homomorfismo de grupo). Ahora bien, como los estados son vectores en un espacio de Hilbert, en realidad estamos pidiendo una representación del grupo $SO(3)$ en el espacio de Hilbert. Las distintas formas en que las rotaciones pueden actuar sobre el espacio de Hilbert corresponden a distintas representaciones del $SO(3)$ grupo. A partir de la teoría de Lie, sabemos que encontrar una representación de $SO(3)$ se reduce a encontrar representaciones para el álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3)$ . Esta álgebra de Lie contiene los generadores infinitesimales de las transformaciones en el $SO(3)$ grupo.

Aquí surge una sutileza. Ahora estamos viendo las diferentes formas en que un estado cuántico (vector del espacio de Hilbert) puede transformarse bajo rotaciones, pero la física está realmente contenida en las amplitudes al cuadrado de los estados. Esta es realmente la cantidad sobre la que queremos saber cómo actuar con las rotaciones. Efectivamente, esto significa que estamos buscando representaciones proyectivas (o hasta una fase) de $SO(3)$ . Se da la circunstancia de que estas son exactamente las representaciones para $SU(2)$ . También ocurre que el álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)$ del grupo $SU(2)$ es isomorfo a $\mathfrak{so}(3)$ . Por eso en muchos libros de texto se limitan a construir representaciones para el álgebra de Lie y el espín aparece por arte de magia. La verdadera razón es que en realidad estamos buscando representaciones proyectivas de $SO(3)$ que incluye las representaciones de espín. Esta es también la razón por la que el espín aparece también en la QM no relativista, ya que el grupo de invariancia galileano incluye el grupo de rotación. El espín no es un fenómeno relativista.

En cualquier caso, como estos dos grupos tienen la misma álgebra de Lie, las relaciones de conmutación para sus generadores infinitesimales serán las mismas, permitiendo lo que se hace en tu libro de texto.

En cuanto a su segunda pregunta, es un poco complicado. Dado que el espacio de Hilbert de los sistemas compuestos viene dado por el producto tensorial de ambos subespacios, ahora tenemos que considerar el producto tensorial de las representaciones. Per se, esto no es una representación y no debería haber forma de actuar sobre este espacio con un operador de espín. Sin embargo, queremos que el sistema compuesto sea también representaciones proyectivas del grupo de rotación $SO(3)$ . Lo que realmente pedimos es que $\mathfrak{su}(2)$ puede convertirse en una biálgebra. Como naturalmente es bi-álgebra, existe una operación (en realidad un homomorfismo), llamada coproducto, $\Delta$ que mapea:

$\Delta:\mathfrak{su}(2) \longrightarrow \mathfrak{su}(2)\otimes\mathfrak{su}(2),$

permitiéndonos ver productos tensoriales de representaciones como una representación. Como este mapa es un homomorfismo, preserva la estructura algebraica y, por tanto, las relaciones de conmutación. Esta es la razón precisa detrás de la unicidad de las relaciones de conmutación para cualquier operador de espín, y en consecuencia, por qué surgen las mismas ecuaciones de valores propios. El enfoque del operador escalera se basa únicamente en la estructura algebraica de los operadores de espín y, como tal, es igualmente válido cuando se utiliza para sistemas compuestos.

La razón por la que aplicamos los operadores sobre uno, y por separado, el otro elemento no es sólo una definición o por intuición física. Es porque este coproducto está actuando sobre elementos primitivos y no está torcido, es decir $\forall X \in \mathfrak{su}(2)$ :

$\Delta(X)=X\otimes 1 + 1 \otimes X,$

que conducen a su $S = S_1 + S_2$ . Existe una profunda conexión entre esta forma para el coproducto y la estadística de las partículas en cuestión. La forma simple anterior está relacionada con la simetría bajo las permutaciones de partículas idénticas. En 3+1 dimensiones, todo sistema compuesto puede describirse en términos de bosones y fermiones, obedeciendo a las dos estadísticas estándar. Como tal, en la mayoría de los casos, esperamos esta forma para el coproducto. Sin embargo, en sistemas confinados en 2 o 1 + 1 dimensiones, son posibles estadísticas más exóticas. En estos casos exóticos, el coproducto no siempre tiene esta forma (por ejemplo: Anyones, Parabosones/Parafermiones) y confiar únicamente en la intuición puede llevarnos por mal camino al considerar sistemas compuestos.

Es interesante una observación final sobre las diferentes bases de un espacio de espín compuesto. En efecto, una base del espacio compuesto $H_1\otimes H_2$ puede darse ahora especificando los vectores propios en ambos subespacios del producto tensorial (esto equivaldría a especificar el espín de cada partícula del sistema compuesto) o, viendo el conjunto como una representación, especificando los vectores propios totales (esto corresponde a especificar el espín total del sistema compuesto). El elemento matricial entre esas dos bases se denomina coeficiente de Clebsch-Gordan y se utiliza a menudo cuando se trata de sistemas compuestos.

Answer 5

Estás leyendo a Griffiths, así que intentaré mantenerme dentro de su vocabulario pero para responder a tu pregunta tengo que introducir quizás algún formalismo que Griffiths no hace.

En general, esta es la historia. Matemáticamente, construimos un $N$ sistema de partículas no interactuantes pero tomando el producto directo de cada espacio de Hilbert $\mathcal{H}_i$ como $i$ pasa de 1 a $N$ (un espacio de Hilbert para cada partícula). Cada uno de estos espacios es completamente independiente del otro y satisface la conocida relación de conmutación. \begin{align} [S_{k}^{(i)},S_{l}^{(j)}]=i\hbar\epsilon_{klm}\delta_{ij} \end{align} donde el $i$ multiplicando $\hbar$ es la unidad imaginaria. En resumen, cada partícula tiene su propio espacio de Hilbert, cada uno de los cuales satisface las relaciones habituales de conmutación del momento angular y los operadores de escalera definidos.