¿Puedo yo conjugado de un número complejo: $\sqrt{a+ib}$?

Question

¿Puedo yo conjugado de un número complejo: $\sqrt{a+ib}$?

En realidad mi profesor de matemáticas de la escuela dice y discute con cada estudiante que no podemos conjugar $\sqrt{a+ib}$ $\sqrt{a-ib}$ porque según él $\sqrt{a+ib}$ no es un número complejo.

Por favor dar algunas pruebas, o algunas buenas explicaciones y respuestas.

PD: Lo sentimos por doble post, mi pregunta anterior no era entendida correctamente por la respuesta-ers debido a la ausencia del símbolo de $\sqrt{}$ :(

Answer 1

Tal vez lo que tu profesor significa que la notación $\sqrt{a + ib}$ es ambiguo, porque hay dos raíces cuadradas de $a+ ib$, y a diferencia de con números verdaderos no hay buena manera de distinguir qué raíz cuadrada te refieres cuando escribes $\sqrt{a + ib}$. Sin embargo, tienes razón cuando escribes $$\overline{\sqrt{a + ib}} = \sqrt{a - ib}$$ if you take it to mean that if $z ^ 2 = un + ib$ then $\bar{z}^2 = a - ib $. This follows from the fact that $$\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$$ for all $z, w \in \mathbb{C}$.

Answer 2

El teorema fundamental del álgebra permite afirmar que existen dos tipos de raíces cuadradas para un determinado número complejo; pero lo que es positivo o negativo número complejo? Esta es una explicación de Taylor de la declaración ("no hay una buena manera de distinguir que la raíz cuadrada que usted se refiere cuando escribe $\sqrt{a+ib}$").

No es una fórmula de la raíz cuadrada de un número complejo (ver Wikipedia): $$\sqrt{a+ib}=\pm\left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}+i\operatorname{sgn}(b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\right)$$ Así que si $b\mapsto -b$, asumiendo $b$ a ser estrictamente positivo, entonces $$\sqrt{a-ib}=\pm\left(\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\right)$$ Entonces, en efecto, $\sqrt{a-ib}=\overline{\sqrt{a+ib}}$ si $b\neq 0$.

Answer 3

Decir $$a+ib=z$$ y

$$\sqrt{z}= \begin{cases} \sqrt{|z|}e^{\frac{i\phi}{2}} \\ \sqrt{|z|}e^{\frac{i\phi}{2 + \pi}} \end{casos}$$

si se selecciona una rama de $\sqrt{}$ - especialmente a $\sqrt{z}$ debe estar bien definido por la elección de la rama (esto es importante mencionarlo, porque para la definición de las $\sqrt{}$ siempre hemos de cortar la línea incluida $0$ $\Bbb C$ plano, f.yo. para la elección de $\phi\in (-\pi,\pi)$ tiene que ser para $z:=a+ib$ que $a>0$ o $b\neq 0$ - para otras opciones de la gama de $\phi$ no aplica correspondientes restricciones a lo $z$ puede ser).

Así tenemos estos dos valores para el conjugado de la raíz $$\overline{\sqrt{z}}= \begin{cases} \sqrt{|z|}e^{\frac{-i\phi}{2}} \\ \sqrt{|z|}e^{\frac{-i\phi}{2 + \pi}} \end{casos}$$

Answer 4

Tener en cuenta

$$\sqrt{a+ib}=\exp\left(\frac{1}{2}\log(a+ib)\right)=\exp\left(\frac{1}{2}\log\left|a+ib\right|+i\theta_n\right),$$ where $\theta_n=\phi+\pi n$ for $n\in\mathbb{Z}$, and $\phi= \text{Arg}(a+ib)/2$.

Entonces tenemos %#% $ de #% esto se expande para obtener $ #% de %#% y $$\sqrt{a+ib} = \sqrt{\left|a+ib\right|}\left(\cos\theta_n+i\sin\theta_n\right).$ $

Por lo tanto, tenemos el complejo números de $$\sqrt{\left|a+ib\right|}\left(\cos(\phi+\pi n)+i\sin(\phi+\pi n)\right),$$$\sqrt{\left|a+ib\right|}\left((-1)^n\cos(\phi)+i(-1)^n\sin(\phi)\right).$\sqrt{a+ib}$$\sqrt{a+ib} = \pm\sqrt{\left|a+ib\right|}\left(\cos\phi+i\sin\phi\right).$\sqrt{a+ib}$ no es un número complejo.