Sin peligro para las articulaciones

Question

Se trata de una pregunta sobre grupos/álgebras de Lie, pero qué se esconde realmente es un trabajo combinatorio y algunos álgebra lineal

En el contexto de grupos de mentira de la matriz podemos definir la ad $$ad_x(Y)=[X,Y]=XY-YX$$ and Ad maps $$Ad_A(X)=AXA^{-1}$$

I am trying show by direct calculation that $$e^{ad_X}(Y) = Ad_{e^X}(Y)=e^X Ye^{-X}$$

where $X $ and $Y $ are $n \times n $ matricies. (This is a question from Brian Hall's matrix Lie group book)

I have calculated that

$$(ad_X)^m(Y) = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} X^kY(-X)^{m-k}$$

where $% $ $(ad_X)^m(Y)=[X,\ldots,[X,[X,Y]]\cdots].$

Así $$e^{ad_X}(Y) = \sum_{p=0}^\infty \frac{(ad_X)^p(Y)}{p!}$ $ y que $$e^{ad_X}(Y) = \sum_{p=0}^\infty \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} \frac{1}{p!} X^kY(-X)^{p-k}$$

I'm not really sure how to convert this into something that looks like the series expansion of $e ^ X Y e ^ {-X} $. ¿Algún consejo?

Answer 1

Que $L_X(A)=XA$ y $R_X(A)=AX$ (los operadores de multiplicación izquierda y derecha. Entonces $ad_X(A)=XA-AX=L_X(A)-R_X(A)=(L_X-R_X)(A)$. Tenga en cuenta que los operadores de multiplicación izquierda y derecha conmutación entre sí (porque la multiplicación de matrices es asociativa).

Por lo tanto, $e^{ad_X}=e^{L_X-R_X}=e^{L_X}e^{-R_X}$ (desde $e^{U+V}=e^Ue^V$ cuando $U$ y $V$ viaje). Así nos encontramos con que

$$e^{ad_X}A=e^{L_X}e^{-R_X}A=e^{L_X}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nR_X^n(A)}{n!} = e^{L_X}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nAX^n}{n!}=e^{L_X}Ae^{-X}$$

$$ = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{L_X^n}{n!} Ae^{-X} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{X^nAe^{-X}}{n!} = e^XAe^{-X} = e^XA(e^X)^{-1}=Ad_{e^X}(A)$$