¿Qué significa realmente esta notación de vector?

Question

Con respecto a los vectores, ¿cómo es esto (formulario 1): $$\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}$$ Diferente a este (formulario 2): $$\begin{bmatrix}1\ 2\ -1 \end{bmatrix}$$
Yo creo que el primer set se compone de magnitudes de la misma variable (donde, simplemente, la suma da la magnitud), mientras que el segundo se refiere a los coeficientes de tres variables diferentes.

En mi libro que tomar la magnitud de la forma 1 $$\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}$$ Lo que podría indicar un conjunto de vectores en diferentes direcciones. Así que mi pregunta es; cual de los dos (filas o columnas) que dan una indicación de la variable o de la dirección del vector / dimensión?

Answer 1

¿Qué es un vector? Bueno, no es "algo con sentido y magintude". En lugar de un vector es un elemento arbitrario de un espacio vectorial. Por supuesto, esto solo cambia la pregunta: ¿Qué es un espacio vectorial? Pero que puede ser definida como una estructura bastante simple axiomas.

Dicho esto, los triples de los números reales a partir de un espacio vectorial (con la adecuada "obvio" operaciones), no importa que la notación que usamos para escribir sucxh un triple. Sin embargo, aunque nos gustaría que se suelen tener en cuenta $\mathbb R^3$ como el conjunto de ternas de números reales y escribir triples en la forma $(x,y,z)$, para el espacio vectorial $\mathbb R^3$, es habitual utilizar el formulario de columna, es decir, escribir vectores como en su forma 1. La razón es que esto tiene más sentido, cuando la introducción de la multiplicación de la matriz (es decir, $Av$ donde $A$ es una matriz y $v$ un vector). Que haría un vector fila uno por tres matriz, un elemento de $\mathbb R^{1\times 3}$. Pero estas dos estructuras son isomorfos (es decir, essentiually indistinguibles).