integrar

Question

$$\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{dx}{2+\tan x}$$

$v=\tan(\frac{x}{2})$

$\tan x=\frac{2v}{1-v^2}$

$dx=\frac{2\,dv}{1+v^2}$

$$\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \frac{dx}{2+\tan x}=\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{\frac{2\,dv}{1+v^2}}{2+\frac{2v}{1-v^2}}=\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{1-v^2}{(1+v^2)(-v^2+v+1)} \, dv$$

Utilizando fracciones parciales

$$-\frac{1}{5}\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{-2v+4}{v^2+1}+\frac{1}{5}\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{-2v+1}{-v^2+v+1}=\frac{1}{5}\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{2v}{v^2+1}-\frac{1}{5}\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{4}{v^2+1}+\frac{1}{5}\int^{\frac{\pi}{8}}_0 \frac{-2v+1}{-v^2+v+1}$$

$$=\frac{1}{5}ln|v^2+1|-\frac{4}{5}\arctan(v)+\frac{1}{5}ln|-v^2+v+1|$$ from $\frac{\pi}{8}$ to $0$

$0.02-0+0.299-0+0.04-0=0.359$

Pero debe salir de 0.32

Answer 1

Universal trigonométricas sustitución se realiza con el fin de obtener las tangentes en lugar de senos y cosenos. En este caso no es necesario, así: $$t= \tan x,\quad x = \arctan t,\quad dx = \dfrac1{t^2+1},$$ $$J =\int\limits_0^{\pi/4}\frac{dx}{2+\tan x} = \int_0^1\dfrac{dt}{(t+2)(t^2+1)}.$$ Vamos $$R(t) = \dfrac1{(t+2)(t^2+1)} = \dfrac A{t+2}+\dfrac{Bt+C}{t^2+1},$$ entonces $$A = \lim_{t\to-2}(t+2)R(t) = \lim_{t\to-2}\dfrac1{t^2+1} = \dfrac15,$$ $$A+B = \lim_{t\to\infty}tR(t) = 0,\quad B=-\dfrac15,$$ $$\dfrac A2+C = R(0) = \dfrac12,\quad C = \dfrac25.$$ Por lo tanto, $$J=\dfrac15\int_0^1\dfrac{dt}{t+2} - \dfrac15\int_0^1\dfrac{t\,dt}{t^2+1} + \dfrac25\int_0^1\dfrac{dt}{t^2+1},$$ $$J = \dfrac15\log(t+2)\biggr|_0^1 - \dfrac1{10}\log(t^2+1)\biggr|_0^1 +\dfrac25\arctan t\biggr|_0^1,$$ $$J = \dfrac15\log\dfrac32 - \dfrac1{10}\log2 +\dfrac25\dfrac\pi4,$$ $$\boxed{J = \dfrac1{10}\left(\pi +\log\dfrac98\right)}$$

De otra manera (insinuado por Wolfram Alpha): $$J = \int\limits_0^{\pi/4}\frac{dx}{2+\tan x} = \int\limits_0^{\pi/4}\frac{\cos x\,dx}{\sin x + 2\cos x},$$ $$\cos x = A(\sin x + 2\cos x) + B(\cos x - 2\sin x),$$ $$ \begin{cases} 2A + B = 1\\ A - 2B = 0, \end{casos}\quad A = \dfrac25,\quad B = \dfrac15, $$ $$J = \dfrac25\int\limits_0^{\pi/4}\,dx + \dfrac15\int\limits_0^{\pi/4}\frac{d(\sin x + 2\cos x)}{\sin x + 2\cos x}\,dx,$$ $$J = \dfrac{2x}5\biggr|_0^{\pi/4} + \dfrac15\log(\sin x + 2\cos x)\biggr|_0^{\pi/4},$$ $$J = \dfrac{2}5\dfrac\pi4 + \dfrac15\log\dfrac3{\sqrt2} - \dfrac15\log2,$$ $$\boxed{J = \dfrac1{10}\left(\pi +\log\dfrac98\right)}$$

Answer 2

El integrando es

$$f(x):=\frac{\cos(x)}{2\cos(x)+\sin(x)}.$$

Podemos formar una combinación lineal para aparecer en el numerador la derivada del denominador:

$$af(x)+b=\frac{a\cos(x)+b(2\cos(x)+\sin(x))}{2\cos(x)+\sin(x)}=\frac{-2\sin(x)+\cos(x)}{2\cos(x)+\sin(x)},$ $ se obtiene con

$$b=-2,a=5.$$

Entonces por integración, % $ $$5F(x)-2x=\ln(|2\cos(x)+\sin(x)|),$$0$$\dfrac\pi4$, $$5I-\frac\pi2=\ln\left(\frac{\frac3{\sqrt2}}{2}\right),$ $

obtenemos

$$I=\frac{\ln(9)-\ln(8)+\pi}{10}\approx0.3259375689\cdots$ $ como afirma.

Answer 3

Han cometido un error en simplifica el integrando. Usted debe tener

$$\int \frac{\frac{2dv}{1+v^2}}{2+\frac{2v}{1-v^2}} = \int \frac{1-v^2}{(1+v^2)(1+v-v^2)}dv.$$

Ahora no practions parcial. Se obtiene

$$ \frac{1-v^2}{(1+v^2)(1+v-v^2)} = \frac{2v-1}{5(v^2-v-1)} -\frac{2v-2}{5(v^2+1)} .$$

La primera integral es una sustitución de U. Para el segundo, dividir el numerador a, entonces U-sustitución y arctan respectivamente.

Answer 4

Antes de hacer cualquier sustituciones son el álgebra, se puede ver que el valor de esta integral será un finito número positivo porque está integrando una función positiva sobre un intervalo acotado.

Multiplicando el numerador y el denominador por $(1-v^2)(1+v^2)$, obtenemos: $$ \frac{\frac 2 {1+v^2}}{2+\frac{2}{1-v^2}} = \frac{2(1-v^2)}{2(1+v^2)(1-v^2)+2(1+v^2)} = \frac{1-v^2}{(1 - v^4) + v+v^3}. $$ Ya que el denominador no es $0$ al $v$ $1$ o $-1$, nada se cancela. Usted puede necesitar métodos numéricos para este factor; no estoy seguro.

Aviso que como $x$$0$$\pi/4$,$v$$0$$\tan\dfrac\pi8$, por lo que sus límites de integración de la necesidad de tomar en cuenta eso.

Answer 5

Han cometido algunos errores en su cálculo.

En primer lugar, desde $v=\tan\frac{x}{2}$ $\tan\frac{\frac{\pi}{4}}{2}=\tan\frac{\pi}{8}=\sqrt 2-1$, debe tener $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{2+\tan x}=\int_{0}^{\color{red}{\sqrt 2-1}}\frac{\frac{2dv}{1+v^2}}{2+\frac{2v}{1-v^2}}$ $

Además, usted debería tener %#% $ #%

Ahora estos dan %#% $ #%